Функан: найти норму функционала

[vlad_light]

$X=L_1([a,b]), f(x)=\int_0^1 tx(t)dt$
найти норму $f$.
Делаю так:
$|f(x)|=|\int_0^1 tx(t)dt|\leq \int_0^1 |tx(t)|dt\leq max_{t\in [0,1]}t \int_0^1 |x(t)|dt=1\cdot\parallel x \parallel \Rightarrow$
$\Rightarrow \parallel f\parallel \leq 1$
Как в другую сторону(подскажите $x(t)$) или я грубо ограничил?

[ShMaxG]

$\[\left\| f \right\| \geqslant \frac{{\left| {f\left( {{x_n}} \right)} \right|}} {{\left\| {{x_n}} \right\|}}\]$, где $\[{x_n}\left( t \right) = {t^n}\]$.

[vlad_light]

$\frac{\int_0^1 t^{n+1}dt}{\int_0^1 |t^n|dt}=\frac{n+1}{n+2}$
Как дальше? Типа так $\frac{n+1}{n+2}\to 1, n\to \infty$?

[ShMaxG]

vlad_light в сообщении #445225 писал(а):

Типа так $\frac{n+1}{n+2}\to 1, n\to \infty$?

Да. Ведь норма функционала -- это супремум, значит должен быть не меньше, чем вот этот предел. Но сверху нас та же единичка и подпирает!

[vlad_light]

Пока не очень разобрался)
А такой: $X=C([a,b]), f(x)=x(a)-x(b)$
$|f| \leq 2\cdot \parallel x \parallel$
В другую сторону? Думаю что-то типа $\frac{t-a}{b-a}$ но не получается.

[ewert]

Чуть сознательнее (в смысле без формульного шаманства). Безусловно, функционал ограничен и его норма не превосходит единички, как с самого начала и было метко замечено. А почему эта оценка точная?... А очевидно, почему: достаточно брать функции положительные, с единичной Эль-один нормой, финитные и со сколь угодно близкими к правому концу носителями функции -- и на них нижняя оценка значения функционала будет, очевидно, сколь угодно близка к единичке.

-- Чт май 12, 2011 23:25:51 --

vlad_light в сообщении #445234 писал(а):

А такой: $X=C([a,b]), f(x)=x(a)-x(b)$
$|f| \leq 2\cdot \parallel x \parallel$
В другую сторону?

Ну это уж совершенно тривиально: просто проведите наклонную прямую через середину отрезка.

(т.е. здесь, в отличие от предыдущей задачки, значение нормы даже и достигается; и даже не только на предложенном примере, разумеется)

[vlad_light]

Цитата:

положительные, с единичной Эль-один нормой

Мне предложили $x_n(t)=t^n$, но $\parallel x_n(t) \parallel _1 =\frac{1}{n+1} \to 0, n\to \infty$

Цитата:

со сколь угодно близкими к правому концу носителями функции

Не разобрался... носитель - область определения ф-ции, финитные - носитель которых компактен. Ещё там в 0 не обращаться должны. Всё вместе в голове не укладывается.
Я делал так: ограничивал сверху $C\cdot \parallel x(t) \parallel$, потом подбирал ф-цию $x^*(t)$ такую, чтоб:
1) $\parallel x^*(t) \parallel =1$
2)$f(x^*)=C$
Есть более простой способ? (Пока пользоваться формулами про общий вид ф-ала нельзя).
Пока я понял, что ф-ции $x^*(t)$также могут зависить от $n$, которое потом можно куда-то направить.

[ewert]

vlad_light в сообщении #445244 писал(а):

Есть более простой способ?

Более простого, чем мой -- нету. Во всяком случае, более сознательного.

"Финитные" -- отличные от нуля лишь на множестве, отделённом от концов промежутка (я там маленько загнул с положительностью; неотрицательные, конечно; но не соглашусь посчитать это даже за небрежность -- так, будем считать, что просто жаргон).

"Носитель" -- то множество, на котором функция отлична от нуля. И компактность тут совсем не при чём (для непрерывных функций носитель заведомо и не будет компактен, но это и не интересно).

Так вот. Берём любую положительную (тьфу ты, опять; неотрицательную, конечно) суммируемую функцию $x(t)$, носитель которой содержится в $[1-\varepsilon;\;1]$. Для неё выйдет, очевидно,

$$|f(x)|=f(x)=\int_0^1t\,x(t)\,dt=\int_{1-\varepsilon}^1t\,x(t)\,dt\geqslant(1-\varepsilon)\int_{1-\varepsilon}^1x(t)\,dt=(1-\varepsilon)\int_0^1x(t)\,dt=(1-\varepsilon)\|x\|_{L_1}$$

, т.е. норма функционала ну никак не меньше $(1-\varepsilon)$ при любом положительном $\varepsilon$ -- а значит, и никак не меньше единички.

[vlad_light]

$\int_0^1t\,x(t)\,dt\geqslant(1-\varepsilon)\int_0^1x(t)\,dt$
Вот этот переход не понял...

(Оффтоп)

Не люблю я слово "очевидно". Кому очевидно, а кому - совсем нет!

Т.е. мы делаем оценку:
$\int_a^b f(t)x(t)dt \geq min_{[b-\epsilon, b]} f(t) \int_a^b x(t)dt $
и она справедлива для любой неотрицательной $x(t)$.
Я правильно понял?

[ewert]

vlad_light в сообщении #445254 писал(а):

Вот этот переход не понял...

См. добивку выше.

-- Пт май 13, 2011 00:27:19 --

(Оффтоп)

vlad_light в сообщении #445254 писал(а):

Не люблю я слово "очевидно". Кому очевидно, а кому - совсем нет!

Я понимаю, что это некоторое пижонство. Но и Вы привыкайте. Как правило, такими словами не разбрасываются. Как правило, если их кто потребляет -- то это и впрямь очевидно. Если самую малость вдуматься, конечно.

-- Пт май 13, 2011 00:30:20 --

vlad_light в сообщении #445254 писал(а):

Я правильно понял?

Естественно. Если все функции неотрицательны, конечно. Но мы ж с самого начала так и приняли.

[vlad_light]

Спасибо, завтра продолжу изучать этот непонятный предмет)

[ewert]

vlad_light в сообщении #445259 писал(а):

завтра продолжу изучать этот непонятный предмет)

Да нету в нём ничего особо так непонятного. Он даже красив. Единственная проблема: его обычно излагают сугубо абстрактно, безотносительно к вычислительным приложениям; и тогда он в среде нечистых математиков способен вызвать лишь отторжение, естественно. Меж тем как вот как раз для вычислительной математики он и весьма принципиален. Но это уже -- вопрос выстраивания рабочих программ.

[vlad_light]

Продолжим:)
$X=l_p, p=1,2; f(x)=\sum(-1)^n\frac{x_n}{n}$
Для $p=1$:
$|f(x)|=|\sum(-1)^n\frac{x_n}{n}|\leq\sum\frac{|x_n|}{n}\leq 1\cdot \parallel x \parallel _1$
$x^*:=-e_1=(-1,0,0,...); \parallel x^* \parallel _1=1; f(x^*)=1 \Rightarrow \parallel f \parallel =1$
Для $p=2$ ограничить не могу...
$X=l_1; f(x)=\sum (1-(-1)^n)\frac{n-1}{n}x_n $
$|f(x)|=|\sum (1-(-1)^n)\frac{n-1}{n}x_n|\leq \sum (1-(-1)^n)(1-\frac{1}{n})|x_n|\leq$
$\leq \sum (1-(-1)^n)|x_n|\leq 2\parallel x \parallel _1$
Какой тут $x^*$?
$X=l_p, p=1,\infty ; f(x)=sign(x_1)$
$f(ax)=sign(ax_1)\neq a\cdot sign(x_1)=af(x)$
Т.е. нормы мы искать не можем?

[Dan B-Yallay]

CTEPTO

[vlad_light]

А я уже пачку вопросов написал, а тут всё стёрто:(

Подскажите, пожалуйста, как исследовать на слабую сходимость в $L_p, l_p, C$?
Определение знаю, по нему сложно. Знаю, что из сильной следует слабая.
Вот пример:
$X=l_p, 1<p<\infty , x^{(n)}=(0,...,0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},...)$, где последний нолик на n-ой позиции.
Знаю, что $x^{(n)}\in l_p$.
Кандидатом на сходимость будет $x=\overline 0 = (0,0,...)$.
Поскольку $x^{(n)} \to \overline 0, n\to \infty$ сильно, то и слабо. А как по критерию?