Есть более простой способ?
Более простого, чем мой -- нету. Во всяком случае, более сознательного.
"Финитные" -- отличные от нуля лишь на множестве, отделённом от концов промежутка (я там маленько загнул с положительностью; неотрицательные, конечно; но не соглашусь посчитать это даже за небрежность -- так, будем считать, что просто жаргон).
"Носитель" -- то множество, на котором функция отлична от нуля. И компактность тут совсем не при чём (для непрерывных функций носитель заведомо и не будет компактен, но это и не интересно).
Так вот. Берём любую положительную (тьфу ты, опять; неотрицательную, конечно) суммируемую функцию

, носитель которой содержится в
![$[1-\varepsilon;\;1]$ $[1-\varepsilon;\;1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/5/6f5c7eb74293bd8ad4ac2e03413f410f82.png)
. Для неё выйдет, очевидно,

, т.е. норма функционала ну никак не меньше

при любом положительном

-- а значит, и никак не меньше единички.