(Оффтоп)
Можно, а зачем ? Если в этой системе не различают бесконечности, то на вопрос топикстартера она ответить не поможет.
Что мешает быть в любой ситуации чуточку точнее?
Авто темы хочет, как я понимаю, определить на этих ЧИСЛАХ (не множествах) математические операции.
Ну так флаг в руки. Только всё равно кольцо не получится. Что мешает автору самому всё определить как он хочет, зачем спрашивать?
Простите, а как ещё понимать? Я задал простой вопрос, о соотношении конечного множества (конечная мощность) с бесконечным множеством (мощность

.
И спросил, можно ли установить соотношение?
Вы спросили не про соотношение, а про отношение, т. е. как найти частное от деления бесконечного числа (назовём так) на конечное. Выбирайте что-то одно: кардиналы, ординалы или систему на свой вкус — смешивать их нельзя, да и результаты будут разными.
Допустим, возьмём ординалы. Давайте вспомним, как определяют операцию деления на множестве, где уже есть коммутативное умножение:
Если существует такое

, что

для данных чисел

и

, и притом оно единственно, то

. У нас ситуация «хуже». Умножение ординалов некоммутативно, достаточно одного примера:

, — хотя их сколько угодно. Тут одной обратной операции будет мало, потому можно ввести только две: левое и правое деление. Попробуем разделить

на

. Слева:

. Упс! Конечные иксы дают конечный результат, а

даёт

, и дальше мы так и не получим

. Что ж, левого частного нет — испробуем правое.

. Многовато результатов:

,

,

… И что же выбрать? [А ничто: определение.] И снова деление не определено, теперь уже правое. Стоит ли такое деление свеч,
Delvistar?
Предлагаю вам самому разобраться с делением кардиналов. Умножение для этого уже упомянуто на предыдущей странице:
Это умножение уже кажется коммутативным. Но вы должны сами поприкидывать, прежде чем убедитесь, что
деление

не имеет смысла, если

не представимо в виде

. Хотя даже так ничего не получится:

, то есть

, деление в такой ситуации разумным образом определить нельзя