Операции со счётными множествами.

[Kallikanzarid]

Delvistar
Вы хоть сами себя понимаете?

[Delvistar]

Простите, а как ещё понимать? Я задал простой вопрос, о соотношении конечного множества (конечная мощность) с бесконечным множеством (мощность$\aleph_{0}$.

И спросил, можно ли установить соотношение? Если нельзя, то может ли величина соотношения быть конечной, или же бесконечно-большой?

Разве трудно ответить? И я предложил свой вариант, типа можно ли подобное рассматривать , как мы рассматриваем соотношение $\frac{c}{X}$, с - постоянная(конечная) величина со знаком плюс, а $X$ - переменная величина с пределом плюс-бесконечность. И подобное соотношение расписано во всех учебниках и имеет один результат $\frac{C}{X} = 0$

(Оффтоп)

А, простите, не отвечать а указывать на учебник, то это не совсем корректно. Я же спрашиваю не у учебника, а у форумчан.

[almost]

--mS-- в сообщении #445054 писал(а):

Delvistar в сообщении #444993 писал(а):

У нас имеется два конечных множествах, с разной мощностью:
$|A| = 5, |B| = 15$.
Мы можем установить соотношение:
$\frac{A}{B} = 0,333...$

almost в сообщении #445022 писал(а):

Тем не менее, я бы сказал так. Ответ чему равно $\frac{A}{B} = ?$ зависит от того, чему равно $B=?$

Это только мне кажется диким деление множества на множество? Я ещё могу понять, умножение...

Ну, забыл автор черточки поставить $\frac{|A|}{|B|}$, бывает. Речь идет, в моем понимании, о представлении бесконечных множеств числами, а не о делении множеств.

arseniiv в сообщении #445066 писал(а):

almost в сообщении #445022 писал(а):

Обозначение $\infty$ не определяет число, использовать его со знаком равенства бесмысленно.

Небессмысленно. Можно всегда придумать систему, в которой в качестве констант имеется $\infty$. И такая даже естественная есть — $\mathbb R \mathrm P^1$.

Можно, а зачем ? Если в этой системе не различают бесконечности, то на вопрос топикстартера она ответить не поможет.

arseniiv в сообщении #445066 писал(а):

almost в сообщении #445022 писал(а):

Тем не менее, я бы сказал так. Ответ чему равно $\frac{A}{B} = ?$ зависит от того, чему равно $B=?$

И не зависит от $A$? Какой интересный подход к определениям!

Разумеется, и от $A$ зависит тоже. Я заострял внимание на бессмысленности (простите, бесперспективности для ответа на вопрос топикстартера) выражения $B=\infty$, т.к. $\infty$ как константа не позволяет различать бесконечности. Точнее бесконечно большие числа, необходимые для ответа на вопрос автора темы.

arseniiv в сообщении #445066 писал(а):

almost в сообщении #445022 писал(а):

Я бы предложил, определить минимальное бесконечное натуральное число, как $x_0$ в последовательности $x_{n+1}=x_n - 1$, если $x_{n \rightarrow \infty} \rightarrow 0$, но говорят это не корректно. А как корректно ?

Нестандартный анализ вам в руки (только осторожнее с ним). Однако бесконечных чисел в $\mathbb N$ вы найти не сможете никогда. Они там все конечные. Множество, рассматриваемое в нестандартном анализе, собой $\mathbb N$ не заменяет.

Ну и к чему тогда здесь нестандартный анализ ? Вы же сами говорите, что он не разрешает вопроса о бесконечно больших числах.
Есть нестандартные модели $\mathbb{N}$ с нестандартными натуральными числами. Можно назвать их бесконечно большими натуральными числами. Авто темы хочет, как я понимаю, определить на этих ЧИСЛАХ (не множествах) математические операции.

[Delvistar]

К чему я? Вот мы знаем что есть натуральные числа. Множество их бесконечное. Мы можем установить любое конечное натуральное число. Как бы оно не было большим но оно конечная величина. Если множество всех натуральных чисел бесконечно, то как продлить записывать натуральные числа?

Множество конечных натуральных чисел, это как я допускаю, бесконечно-малая величина всех натуральных чисел. Всё это множество бесконечно-мало по отношению ко всем натуральным числам. И поэтому нам надо продолжить счёт натуральных чисел, то есть определить понятие "бесконечные натуральные числа", а прежнее понятие о натуральных числах записать как "конечные натуральные числа". И как мне кажется, Кантор, только сделал робкий шаг в этом направлении.

У нас "конечные натуральные числа" дифференцируются, а вот "бесконечные..." пока имеют перспективу равномощности, и мы на них пока смотрим, как человек европеец впервые увидел китайцев. Они все кажутся на одно лицо.

[Kallikanzarid]

Delvistar в сообщении #445153 писал(а):

Простите, а как ещё понимать? Я задал простой вопрос, о соотношении конечного множества (конечная мощность) с бесконечным множеством (мощность$\aleph_{0}$.

Что вы имеете ввиду под словом "соотношение"? ИМХО, вам стоит прочитать учебник по теории множеств прежде, чем пытаться делать какие-то заключения.

[arseniiv]

(Оффтоп)

almost в сообщении #445155 писал(а):

Можно, а зачем ? Если в этой системе не различают бесконечности, то на вопрос топикстартера она ответить не поможет.

Что мешает быть в любой ситуации чуточку точнее?

almost в сообщении #445155 писал(а):

Авто темы хочет, как я понимаю, определить на этих ЧИСЛАХ (не множествах) математические операции.

Ну так флаг в руки. Только всё равно кольцо не получится. Что мешает автору самому всё определить как он хочет, зачем спрашивать?

Delvistar в сообщении #445153 писал(а):

Простите, а как ещё понимать? Я задал простой вопрос, о соотношении конечного множества (конечная мощность) с бесконечным множеством (мощность$\aleph_{0}$.

И спросил, можно ли установить соотношение?

Вы спросили не про соотношение, а про отношение, т. е. как найти частное от деления бесконечного числа (назовём так) на конечное. Выбирайте что-то одно: кардиналы, ординалы или систему на свой вкус — смешивать их нельзя, да и результаты будут разными.

Допустим, возьмём ординалы. Давайте вспомним, как определяют операцию деления на множестве, где уже есть коммутативное умножение:
Если существует такое $x$, что $ax = b$ для данных чисел $a$ и $b$, и притом оно единственно, то $a/b = x$. У нас ситуация «хуже». Умножение ординалов некоммутативно, достаточно одного примера: $2\omega = \omega \ne \omega \cdot 2$, — хотя их сколько угодно. Тут одной обратной операции будет мало, потому можно ввести только две: левое и правое деление. Попробуем разделить $\omega$ на $8$. Слева: $x \cdot 8 = \omega$. Упс! Конечные иксы дают конечный результат, а $x = \omega$ даёт $\omega \cdot 8 \ne \omega$, и дальше мы так и не получим $\omega$. Что ж, левого частного нет — испробуем правое. $8x = \omega$. Многовато результатов: $x = \omega$, $x = \omega + 1$, $x = \omega + 2$… И что же выбрать? [А ничто: определение.] И снова деление не определено, теперь уже правое. Стоит ли такое деление свеч, Delvistar?

Предлагаю вам самому разобраться с делением кардиналов. Умножение для этого уже упомянуто на предыдущей странице:

Kallikanzarid в сообщении #445128 писал(а):

$|X||Y| := |X \times Y|$

Это умножение уже кажется коммутативным. Но вы должны сами поприкидывать, прежде чем убедитесь, что

Kallikanzarid в сообщении #445128 писал(а):

деление $|A|/|B|$ не имеет смысла, если $A$ не представимо в виде $B \times C$. Хотя даже так ничего не получится: $\mathbb{N} \cong \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, то есть $\aleph_0 = \aleph_0^2$, деление в такой ситуации разумным образом определить нельзя

[Delvistar]

(Оффтоп)

Вы спросили не про соотношение, а про отношение, т. е. как найти частное от деления бесконечного числа (назовём так) на конечное.

У меня деление конечного числа на переменную с пределом плюс-бесконечность.

А то что касается $\omega$, то я потому и спрашивал, что мы не можем сделать то, что и Вы и показали, невозможность . Я к тому и говорил, что не кажется ли, что взаимно-однозначное соответствие работает в конечных числах. Что и доказано. А вот то что касается чисел начиная с $\omega$, уже большой вопрос!

[arseniiv]

Delvistar в сообщении #445180 писал(а):

У меня деление конечного числа на переменную с пределом плюс-бесконечность.

Вы читали то, что вам писали? У множества нет предела! Нету. Ни конечного, ни плюс или минус бесконечного! Ей-богу, я вот-вот тоже сдамся и попрошу вас почитать учебник.

Delvistar в сообщении #445180 писал(а):

Я к тому и говорил, что не кажется ли, что взаимно-однозначное соответствие работает в конечных числах.

Причём тут взаимно однозначное соответствие?

Delvistar в сообщении #445180 писал(а):

А вот то что касается чисел начиная с $\omega$, уже большой вопрос!

Нету вопроса. Определить не получится. Если взять другое определение, это уже будет не то деление, на которое вы так расчитываете.

[Delvistar]

Поймите пожалуйста, да у множества нет предела. Может где я и оговорился. Но я когда говорю об отношении двух множеств(их мощностей), то предлагаю аналог отношения постоянной величины к переменной с пределом в плюс-бесконечность. Говорю о том, может быть подобное отношение двух множеств, можно рассмотреть по примеру других операций. И всё.
Предлагаю как пример решения. Спрашивая, предлагаю.

Какие бы мы не взяли два конечных множества, но мы можем установить соотношение. Например, $\frac{10}{2} = \frac{|A|}{|B|}$. Это нам говорит о том, что бы мощность $B$ сравнялась с мощностью $A$, нам необходимо взять 5 множеств равномощных $B$.

Теперь берём конечное множество $|C| = 555$ и $G = \aleph_{0}$. Сколько нам надо взять равномощных множеств $C$, что бы оно стало в общем равномощно $G = \aleph_{0}$? Естественно здесь речь должна идти о бесконечном множестве операций.

Множество счётное, оно больше конечного множества. В бесконечное множество раз большее. Так какая тогда мощность конечного множества по отношению к счётному множеству с мощностью $\aleph_{0}$. Разве оно не бесконечно меньше. Или же Вы полагаете, что оно конечно меньше, и у этой конечности имеется конечная величина?

[AKM]

--mS-- в сообщении #445054 писал(а):

Это только мне кажется диким деление множества на множество?

Нет, не только Вам...

Delvistar,

я признаю свою неправоту:

AKM в сообщении #343307 писал(а):

Delvistar,
бан (= запрет доступа на форум) на 1 месяц. На ликвидацию вопиющей безграмотности.

Конечно, за 1 (один) месяц ликвидировать вопиющую безграмотность было невозможно. С другой стороны, она (даже невопиющая) в Правила форума не вписывается.
Убедительно прошу Вас прекратить пороть чушь.
Полагаю, закрытие темы поможет в этом.