Операции со счётными множествами.

[AV_77]

Delvistar в сообщении #443849 писал(а):

Как мне кажется, взаимно-однозначное соответствие легко доказуемо в конечных множествах. Но вот что касается счётных множеств, здесь вопрос, так как взаимно-однозначное соответствие работает с натуральными числами, которыми мы отмечаем конечные множества.

А какие здесь проблемы со счетными множествами? Ведь в соответствии с определением множество счетное, если существует биекция на множество натуральных чисел.

[Delvistar]

(Оффтоп)

Пожалуйста, прошу из-за непонимания друг друга, не переходить на знаки неуважения.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Delvistar в сообщении #443887 писал(а):

Пожалуйста, прошу из-за непонимания друг друга, не переходить на знаки неуважения.

Да нет, я прекрасно понимаю, что hurtsy пишет. Только говорить не стану, чтобы тему не портить.

[Delvistar]

(Оффтоп)

AV_77 в сообщении #443870 писал(а):

Delvistar в сообщении #443849 писал(а):

Как мне кажется, взаимно-однозначное соответствие легко доказуемо в конечных множествах. Но вот что касается счётных множеств, здесь вопрос, так как взаимно-однозначное соответствие работает с натуральными числами, которыми мы отмечаем конечные множества.

А какие здесь проблемы со счетными множествами? Ведь в соответствии с определением множество счетное, если существует биекция на множество натуральных чисел.

Если у нас имеется $n \rightarrow 2n$,то, мы знаем что для каждого $n$ , можем найти $2n$.
$n$ это конечное натуральное число.

Теперь, отметим $ n = a , 2n = b$, $a \rightarrow b$, и следуя Кантору:

"...как считал Кантор, определить новое, трансфинитное ординальное число $\omega$ как первое число, следующее за всей последовательностью чисел 1, 2, 3, ... "
(см.http://ega-math.narod.ru/Singh/Cantor.htm)

тогда отметим $b = \omega$, и зададим себе вопрос:

чему равно $a$,$a \rightarrow \omega$.

[arseniiv]

Ни ординальные, ни кардинальные числа не принядлежат множеству натуральных чисел! Ординалов, соответствующих счётным множествам, вообще несчётное число (см. книгу, которую мне порекомендовал Виктор Викторов).

[Delvistar]

Я не спорю, так как трансфинитные ординальные числа это самостоятельное и систематическое обобщение натуральных чисел.

Тогда$\omega$в каком отношении со всеми натуральными числами? Это больше, меньше, или же не имеет соприкосновения?

[arseniiv]

(Поправлю немного.)

Delvistar в сообщении #443949 писал(а):

Я не спорю, так как трансфинитные ординальные числа это самостоятельное и систематическое обобщение натуральных чисел.

Трансфинитные — это те ординальные, которые не сопоставляются натуральным. Обобщением натуральных будут просто ординальные, а не именно трансфинитные ординальные.

$\omega$ больше любого конечного ординального числа, однако все остальные трансфинитные ординалы (начиная с $\omega + 1$) больше его.

[Delvistar]

Как я понимаю.
У нас имеется множество натуральных чисел $\mathbb{N}$, и имеются аксиомы Пеано. Здесь всё предельно ясно.

Теперь берём любое натуральное число $C$, которое конечно. Так вот, мы знаем что отношение постоянной величины $C$, к переменной, то есть бесконечно-большой $\mathbb{N}$, $\frac{c}{\mathbb{N}}$ = 0, то есть бесконечно малой величине.
Разве это нам не говорит о том что натуральные числа, которые мы записываем как обычно (1,2,3,4,...), всего лишь бесконечно-малая величина от всего множества$\mathbb{N}$.

Так вот, что бы выйти из этой бесконечно-малой величины и продолжить (пусть обобщённо) но счёт счётного множества $\mathbb{N}$, Кантор установил свою систему с $\omega$.

Или же я чего-то не допонимаю?

[arseniiv]

1. Операция деления числа на множество не определена.
2. $\mathbb N$ — никакая не «переменная величина».
3. Число (тем более, натуральное) не может быть бесконечно малой величиной. Бесконечно малыми величинами могут быть только функции (при том не просто так, а в окрестности заданной точки).
4. А почему тогда ординалы, а не кардиналы? Чем вторые хуже первых?
5. Так чего еж вы всё-таки хотите?

[Delvistar]

Пожалуйста, выделите любое конечное множество с любой конечной мощностью, установленное натуральным числом.
5, 500,50 000,...

И установите соотношение этой мощности с мощностью $\aleph_{0}$?

Мы имеем с одной стороны конечное множество, а с другой стороны множество бесконечно-большое( с таким пределом). И какое тогда Вы поставили бы их соотношение?

Какое множество всех натуральных чисел? Разве оно не отмечено бесконечно-большой величиной?

И не число быть бесконечно-малой величиной, а отношение постоянной величины к переменной величине с пределом плюс-бесконечность.
(http://sumdu.telesweet.net/doc/lections ... c/t5_1.pdf -арифм. действия над переменными величинами)

[arseniiv]

Естественно, множеству с конечной мощностью невозможно взаимно однозначно сопоставить множество мощности $\aleph_0$. Множество натуральных чисел бесконечно, да. А теперь конкретнее:

Delvistar в сообщении #444145 писал(а):

И установите соотношение этой мощности с мощностью $\aleph_{0}$?

Я понимаю, что имелось ввиду «установите взаимно однозначное отношение между множествами той и этой мощности», но в вашей формулировке этому больше соответствует «какая из них больше?»

Delvistar в сообщении #444145 писал(а):

множество бесконечно-большое( с таким пределом)

Множества бесконечно большими не бывают, а только просто бесконечными. Притом, как уже отмечал, нет у множеств и пределов. Множество $\mathbb N$ и любые другие множества даются нам как один уже построенный объект. Их наличие не означает какого-то процесса перечисления всех элементов.

Delvistar в сообщении #444145 писал(а):

Какое множество всех натуральных чисел? Разве оно не отмечено бесконечно-большой величиной?

Нет, не отмечено (см. всё, что выше.)

Delvistar в сообщении #444145 писал(а):

И не число быть бесконечно-малой величиной, а отношение постоянной величины к переменной величине с пределом плюс-бесконечность.

В самом лучшем понимании это тоже подпадает под сказанное выше.

Может быть, вас смутило, что я сказал, что предел определяется только для функций. Последовательность — тоже функция. А множество — не последовательность.

[almost]

Возьмем последовательность $x_{n+1}=x_n - c, (c,x,n \in \mathbb{N})$,
$x$ стремится к нулю, когда $n$ стремится к бесконечности.
Считаем $x$ бесконечно большим натуральным числом.
Минимальное $x$ определяется при $c=1$.

[arseniiv]

almost в сообщении #444286 писал(а):

Возьмем последовательность $x_{n+1}=x_n - c, (c,x,n \in \mathbb{N})$,
$x$ стремится к нулю, когда $n$ стремится к бесконечности.

После некоторого члена остальные не определены. Натуральный ряд же ограничен снизу.

[almost]

Конечно, он ограничен нулем, к которому и стремится $x$. Разве нет ?

arseniiv в сообщении #444312 писал(а):

После некоторого члена остальные не определены.

По-моему, этот член может быть только нулем.

[Kallikanzarid]

almost в сообщении #444440 писал(а):

Конечно, он ограничен нулем, к которому и стремится $x$. Разве нет ?

Пусть $c = 5,\ x_1 = 8$. Тогда $x_2 = 3,\ x_3 = ?$ Не пытайтесь механически переносить теоремы для последовательностей элементов из $\mathbb{R}$ на последовательности с элементами из $\mathbb{N}$.

-- Ср май 11, 2011 08:39:53 --

И прежде, чем даже заикаться о пределе, убедитесь, что ваша последовательность корректно определена.