Как понять что такое предел?

[Munin]

ewert в сообщении #444695 писал(а):

"С заданной стороны" -- это ровно и означает, что мы рассматриваем именно две бесконечности

Вы мне открыли глаза! Оказывается, мы рассматриваем вдвое больше чисел, чем я думал до этого! Вместо числа 2 мы рассматриваем числа 2-0 и 2+0, и т. п.! Фтопку Кантора и Дедекинда! Осталось только с арифметикой дело прояснить... Обязательно постараюсь сегодня же в магазине купить 1+0 литра молока за 50-0 рублей.

[ewert]

Munin в сообщении #444766 писал(а):

Вы мне открыли глаза!

Откройте ещё шире: что такое односторонний предел с сугубо топологической точки зрения?...

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #444697 писал(а):

И это вот прыганье между двумя пространствами проще?

Да, проще. Прыганья, заметьте, никакого нет, мы только рассматриваем $\mathbb{R}$ как подмножество своей одноточечной компактификации. Преимущество такого подхода - все нужные пределы вводятся естественно, без произвола. Недостатки вы мне скажите :)

[Munin]

ewert в сообщении #444777 писал(а):

Откройте ещё шире: что такое односторонний предел с сугубо топологической точки зрения?...

А что, это повлияет на то, сколько у нас точек: одна или две?

Kallikanzarid в сообщении #444779 писал(а):

Недостатки вы мне скажите :)

Ну вот некоторые функции там себя непонятно как ведут. $e^x$ при $x=\infty,$ например, чему равна?

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #444777 писал(а):

Откройте ещё шире: что такое односторонний предел с сугубо топологической точки зрения?...

1) Пределом в точке $x \in \mathbb{R}$ называем предел по фильтру $\uparrow\!x \setminus \{x\}$.
2) Пределом в точке $x$ слева называем предел по фильтру $\uparrow\!x \cap \{y \in \mathbb{R}: y < x\}$.
3) Пределом в точке $x$ справа называем предел по фильтру $\uparrow\!x \cap \{y \in \mathbb{R}: y > x\}$.

-- Ср май 11, 2011 23:13:17 --

В случае с бесконечностью порядок для нее не определен, поэтому нужно либо вводить-таки $+\infty$ и $-\infty$, либо принимать за предел слева и предел справа предел по фильтру, определенному в некоторой карте в окрестности бесконечности.

-- Ср май 11, 2011 23:15:19 --

Munin в сообщении #444786 писал(а):

Ну вот некоторые функции там себя непонятно как ведут. $e^x$ при $x=\infty,$ например, чему равна?

А зачем ее в этой точке определять?

[Joker_vD]

Kallikanzarid в сообщении #444790 писал(а):

А зачем ее в этой точке определять?

А хотя бы для того, чтобы она была всюду непрерывна.

Kallikanzarid в сообщении #444790 писал(а):

В случае с бесконечностью порядок для нее не определен, поэтому нужно либо вводить-таки $+\infty$ и $-\infty$, либо принимать за предел слева и предел справа предел по фильтру, определенному в некоторой карте в окрестности бесконечности.

Короче, вам придется все равно руками ввести окрестности, так же, как и мне. Вот только я не произвожу компактификацию, а потому сил и времени трачу меньше с теми же результатами.

[Виктор Викторов]

Kallikanzarid в сообщении #444790 писал(а):

фильтру $\uparrow\!x \setminus \{x\}$

Что oзначает эта стрелочка вверх? Я не знаком с этим обозначением. О каком фильтре речь? Фильтре проколотых окрестностей?

[Kallikanzarid]

Виктор Викторов в сообщении #444838 писал(а):

Что oзначает эта стрелочка вверх? Я не знаком с этим обозначением. О каком фильтре речь? Фильтре проколотых окрестностей?

http://en.wikipedia.org/wiki/Filter_%28topology%29
Здесь я имел ввиду минимальный фильтр, состоящий из открытых множеств, содержащий $x$. Далее я немного погрешил с нотацией, имея ввиду теоретико-множественную разность каждого множества из фильтра с $\{x\}$

Joker_vD
У меня намного меньший произвол, чем у вас :) Можно и не пользоваться порядком, кстати, у нас проколотые окрестности в любом случае имеют две связных компоненты, поэтому фильтр естественным образом разделяется на два, которые нам нужно просто последовательным образом обозначить.

[Виктор Викторов]

Kallikanzarid в сообщении #444844 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #444838 писал(а):

Что oзначает эта стрелочка вверх? Я не знаком с этим обозначением. О каком фильтре речь? Фильтре проколотых окрестностей?

http://en.wikipedia.org/wiki/Filter_%28topology%29
Здесь я имел ввиду минимальный фильтр, состоящий из открытых множеств, содержащий $x$. Далее я немного погрешил с нотацией, имея ввиду теоретико-множественную разность каждого множества из фильтра с $\{x\}$

«Минимальный фильтр, состоящий из открытых множеств, содержащий $x$» называется фильтром окрестностей точки $x{.}$ Весьма рекомендую по этому поводу первый том бурбаковской общей топологии. Так же посмотрите здесь topic22459.html

[Munin]

Kallikanzarid в сообщении #444790 писал(а):

А зачем ее в этой точке определять?

Затем, что мы пока ещё не ввели понятие и классификацию точек разрыва. Мы можем сделать это только уже после пределов.

[Kallikanzarid]

Munin
Я имею ввиду, почему область определения функции обязательно должна совпадать со всем пространством? Мы вполне можем работать с функциями, определенными на $\mathbb{R}$, считая $\mathbb{R}$ подмножеством своей одноточечной компактификации $\overline{\mathbb{R}}$.

[Joker_vD]

Kallikanzarid
Вообще-то я во время всего нашего разговора считал, что $\overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty;+\infty\}$. Компактификация Александрова $\mathbb R$ для меня — это $\dot{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{\infty\}$.

[Kallikanzarid]

Joker_vD
Не суть важно, как обозначать :)

[Munin]

Kallikanzarid в сообщении #444872 писал(а):

Я имею ввиду, почему область определения функции обязательно должна совпадать со всем пространством?

Потому что точки разрыва вводятся в понятийную систему ученика после пределов.

[Kallikanzarid]

Munin в сообщении #444916 писал(а):

Kallikanzarid в сообщении #444872 писал(а):

Я имею ввиду, почему область определения функции обязательно должна совпадать со всем пространством?

Потому что точки разрыва вводятся в понятийную систему ученика после пределов.

Я не вижу никакой связи.