Как понять что такое предел?

[Joker_vD]

bigarcus в сообщении #444086 писал(а):

И как выбирается когда какой использовать?

К пространству обычно что-то цепляют — операцию там, метрику, норму или еще чего.

[Виктор Викторов]

Munin в сообщении #444069 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #444050 писал(а):

Oпределение: Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если по каждому $ \varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для каждой точки $x$ из открытой окрестности точки $x_0$ открытого интервала $(x_0-\delta, x_0+\delta)$, значение функции $f(x)$ имеет место быть в открытой окрестности точки $f(x_0)$ открытом интервале $( f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)+\varepsilon)$.

Определение получилось кривым, потому что вы попытались впихнуть в него другое определение - $\varepsilon$-окрестности. Разделите на два.

А, конкретно, что Вам не нра? Единственно чем пришлось пожертвовать это разговором о том, что открытые окрестности не обязаны быть симметричными. Но разговор об этом уволок бы нас от сути дела.

[Munin]

bigarcus в сообщении #444074 писал(а):

А в математике, вообще, что понимают под "пространством"?

Единого понятия "пространства" нет, есть ряд разных объектов, называемых "пространство такое-то", "пространство сякое-то". Поэтому обобщённо и вправду можно только сказать, что это какое-то множество. Но это множество, внутри которого мы "живём", и внутри которого происходит то, что нам интересно. Так что не любое множество вообще можно называть пространством, а стоит использовать это слово только в хорошо знакомых случаях. Если в тексте рассматривается "пространство какое-то", то дальше слово "пространство" может использоваться как сокращение от этого словосочетания.

Виктор Викторов в сообщении #444096 писал(а):

А, конкретно, что Вам не нра?

Языковая стилистика.

Виктор Викторов в сообщении #444096 писал(а):

Единственно чем пришлось пожертвовать это разговором о том, что открытые окрестности не обязаны быть симметричными.

Да нет, конечно, речь не об этом, я же специально оговорил, не "окрестности", а "$\varepsilon$-окрестности". Так-то окрестности даже связными не обязаны быть.

[Виктор Викторов]

Munin в сообщении #444128 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #444096 писал(а):

Единственно чем пришлось пожертвовать это разговором о том, что открытые окрестности не обязаны быть симметричными.

Да нет, конечно, речь не об этом, я же специально оговорил, не "окрестности", а "$\varepsilon$-окрестности". Так-то окрестности даже связными не обязаны быть.

Да. Конечно, открытые окрестности не обязаны быть даже связными. Но, я для этого специально написал, что говорю о специальном случае открытой окрестности открытом интервале. Ведь из этого определения без залезания в дебри топологии, предела и прочие лесные массивы вываливается суть непрерывности. И уже усвоив эту суть, с примерами и объяснениями, можно весьма уютно двигаться дальше.

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #444080 писал(а):

Что угодно. Просто неудобно всё время талдычить: "множество, множество, множество...". И в глазах рябит, и мысли заплетаются.

Ну вы даете

bigarcus в сообщении #444086 писал(а):

Эээ... то есть, пространство и множество - просто два термина для одного понятия?

Нет, под пространством понимают множество с дополнительной структурой, формализующей какие-то интуитивные геометрические представления. Примеры: векторное пространство, топологическое пространство, измеримое пространство.

[Joker_vD]

Kallikanzarid в сообщении #444136 писал(а):

Нет, под пространством понимают множество с дополнительной структурой, формализующей какие-то интуитивные геометрические представления.

Какие геометрические представления формализует пространство событий?

[ChaosProcess]

Топикстартеру
Предел функции вначале представляйте себе с помощью определения по Коши как локализацию точек с близким предельным значением функции на маленьком участке координатной плоскости. Определние по Гейне представляет собой то же, только теперь берем последовательность точек, которая предельно приближается к нужной точке, а последовательность соответствующих значений будет предельно приближаься к значению предела функции.

Вопрос явно не стоил такого количества страниц.

-- Пн май 09, 2011 22:41:34 --

А по поводу бесконечностей, лучше рассматривать просто числовую прямую, а бесконечно большую функцию считать большей любого наперед заданного числа.

[arseniiv]

ChaosProcess в сообщении #444166 писал(а):

А по поводу бесконечностей, лучше рассматривать просто числовую прямую, а бесконечно большую функцию считать большей любого наперед заданного числа.

Но ведь примерно так и определяется бесконечный предел! (И, соответственно, производная, определённый интеграл, сумма ряда и прочие.)

[bigarcus]

Цитата:

Предел функции вначале представляйте себе с помощью определения по Коши как локализацию точек с близким предельным значением функции на маленьком участке координатной плоскости.

Это как?

-- Пн май 09, 2011 23:14:20 --

(Оффтоп)

Цитата:

Вопрос явно не стоил такого количества страниц.

Страниц было больше, тему разветвили.
http://dxdy.ru/topic45321.html

[ChaosProcess]

arseniiv в сообщении #444169 писал(а):

Но ведь примерно так и определяется бесконечный предел! (И, соответственно, производная, определённый интеграл, сумма ряда и прочие.)

Ну да, предел функции в точке(не бесконечной) бесконечен, если для любого наперед заданного числа существует окрестность аргумента такая, что функция любой точки из этой окрестности больше заданного числа.

-- Вт май 10, 2011 00:14:37 --

bigarcus в сообщении #444172 писал(а):

Это как?

Просто нарисуйте плоскость декартовых координат и отметьте две окрестности: одну на $x$ другую на $y$. В определении Коши говорится про прямоугольник, проекции которого на оси будут окрестностями.
Я просто постарался геометрическое представление обрисовать.

[arseniiv]

ChaosProcess в сообщении #444184 писал(а):

в точке(не бесконечной)

В $\bar {\Bbb R}$ можно довольно одинаково рассматривать пределы как в действительнозначных точках, так и в $\pm\infty$. Насколько помню.

[bigarcus]

Цитата:

Просто нарисуйте плоскость декартовых координат и отметьте две окрестности: одну на другую на . В определении Коши говорится про прямоугольник, проекции которого на оси будут окрестностями.
Я просто постарался геометрическое представление обрисовать.

Представил в голове - и толку нуль. Завтра попробую на бумаге и с книгой в руках. Спасибо за такое, сам еще не понимаю какое, геометрическое представление. Я такие люблю.

[ChaosProcess]

arseniiv в сообщении #444191 писал(а):

В можно довольно одинаково рассматривать пределы как в действительнозначных точках, так и в . Насколько помню.

Никогда не пользовался расширенной числовой прямой. Да и не нужно это, все формализуется с помощью лучей. Они, так сказать, представляют из себя полуокрестность бесконечных точек.

[Виктор Викторов]

ChaosProcess в сообщении #444200 писал(а):

… все формализуется с помощью лучей. Они, так сказать, представляют из себя полуокрестность бесконечных точек.

А что такое полуокрестность?

-- Пн май 09, 2011 19:14:53 --

ChaosProcess в сообщении #444200 писал(а):

Никогда не пользовался расширенной числовой прямой. Да и не нужно это ...

Расширенная числовая прямая хорошая штука. Просто ей надо пользоваться отдельно от числовой прямой, объяснив различие с числовой прямой и причину ея введения. Например, рассмотрим функцию $f(x)=\frac 1 {|x|}{.}$ Эта функция определена на всей числовой прямой кроме нуля. Причем она ещё и непрерывна в каждой точке свой области определения. А можно её доопределить в нуле да так, чтобы эта новая «доопределённая» функция была непрерывна? Ответ: нет, нельзя. Но там же значения по мере приближения к нулю слева и справа на графике всё ближе и ближе... Ну сердце не камень! Хорошо. Попробую помочь. Но и от Вас кое-что надо. Давайте создадим расширенную числовую прямую и пусть оная расширенная числовая прямая будет областью прибытия новой функции. Тогда функция $f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac 1 {|x|}, x\ne 0\\ +\infty, x=0 \end{array} \right. $При этом наша новая функция определена на всей числовой прямой включая нуль и непрерывна в нуле. Но взамен область её значений расширена до расширенной числовой прямой.

[ChaosProcess]

Виктор Викторов в сообщении #444201 писал(а):

А что такое полуокрестность?

Ну я имел ввиду левую или правую(в зависимости от знака) окрестность бесконечности. Наверно неточно выразился в предыдущем посте.

Виктор Викторов в сообщении #444201 писал(а):

Расширенная числовая прямая хорошая штука. Просто ей надо пользоваться отдельно от числовой прямой, объяснив различие с числовой прямой и причину ея введения. Например, рассмотрим функцию Эта функция определена на всей числовой прямой кроме нуля. Причем она ещё и непрерывна в каждой точке свой области определения. А можно её доопределить в нуле да так, чтобы эта новая «доопределённая» функция была непрерывна? Ответ: нет, нельзя. Но там же значения по мере приближения к нулю слева и справа на графике всё ближе и ближе... Ну сердце не камень! Хорошо. Попробую помочь. Но и от Вас кое-что надо. Давайте создадим расширенную числовую прямую и пусть оная расширенная числовая прямая будет областью прибытия новой функции. Тогда функция При этом наша новая функция определена на всей числовой прямой включая нуль и непрерывна в нуле. Но взамен область её значений расширена до расширенной числовой прямой.

Круто. И что дает полезного в данном случае непрерывность на $R$?