Как понять что такое предел?

[ewert]

Ales в сообщении #443159 писал(а):

Чтобы понять, можно что-нибудь приближенно вычислить, например число $e$ - основание натурального логарифма.
После этого можно придумать определение

После этого уже ничего, решительно ничего не удастся придумать.

Определение -- первично; и лишь после того, как оно сформулировано -- имеет смысл разговор о том, имеет ли это определение смысл и (если имеет) как добраться до собственно объекта.

[Ales]

ewert в сообщении #443163 писал(а):

После этого уже ничего, решительно ничего не удастся придумать.

Коши ведь как-то придумал свое определение. Чтобы лучше понять, надо пройти этот путь.

[Kallikanzarid]

Виктор Викторов в сообщении #443154 писал(а):

Если сделать окрестности вложенными и добавить "начиная с некоторой", то станет совсем хорошо.

Здесь это не нужно.

Цитата:

Я бы так переформулировал Вашу идею: "$A$ есть предел последовательности, если вне любой окрестности $A$ содержится не более чем конечное число членов последовательности."

Вроде бы, определение из Вербицкого в точности :)

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #443168 писал(а):

Вроде бы, определение из Вербицкого в точности :)

Я Мишу Вербицкого не читал (ну почти не читал), но скажу. Если он и впрямь так (изначально!) определял предел -- то он глубоко неправ. Ибо изначальное определение предела дано вот ровно в том приводившемся тут анекдоте: если мы будем тыр-пырить, приближаясь к нашей предельной точке (что бы под ней ни подразумевалось) -- то и наши значения будут хоть к чему-то, да приближаться.

[gris]

А Вы ушли от темы. У нас — про пределы, а не про пространства Фреше.

И я отвечу по теме про окрестность бесконечности на действительной прямой.
Интервал ${(-\infty;a)$ будет окрестностью минус бесконечности, интервал $(a;\infty)$ — плюс бесконечности.

Определение: $\lim \{a_n\}=+\infty \Leftrightarrow \forall A \,\,\exists N: \forall n>N \,a_n>A$, что совершенно эквивалентно тому, что вне любой окрестности плюс бесконечности содержится не более, чем конечное число членов последовательности.

[bigarcus]

ой, а что случилось с продолжением (3 страницы исчезли)?

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

bigarcus в сообщении #444044 писал(а):

ой, а что случилось с продолжением (3 страницы исчезли)?

Действительно, что произошло? Свяжитесь с модератором!

А пока вот такая идея: Давайте предположим, что мы никогда не слышали слово «предел» и словосочетание «топологическое пространство». А теперь дадим определение непрерывности функции $f$ в точке $x_0$. Итак,

Oпределение: Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если по каждому $ \varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для каждой точки $x$ из открытой окрестности точки $x_0$ открытого интервала $(x_0-\delta, x_0+\delta)$, значение функции $f(x)$ имеет место быть в открытой окрестности точки $f(x_0)$ открытом интервале $( f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)+\varepsilon)$.

А дальше для определения предела ослаблять это определение непрерывности.

[gris]

Дискуссия о преподавании теории пределов просто отделена в новую тему.
А тут вроде бы всё выяснили.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

Эт куда же нас услали? Дайте ниточку!

[gris]

http://dxdy.ru/topic45321.html

[zhoraster]

Прошу прощения, там написал, тут забыл. gris, спасибо.

[Munin]

Виктор Викторов в сообщении #444050 писал(а):

Oпределение: Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если по каждому $ \varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для каждой точки $x$ из открытой окрестности точки $x_0$ открытого интервала $(x_0-\delta, x_0+\delta)$, значение функции $f(x)$ имеет место быть в открытой окрестности точки $f(x_0)$ открытом интервале $( f(x_0)-\varepsilon, f(x_0)+\varepsilon)$.

Определение получилось кривым, потому что вы попытались впихнуть в него другое определение - $\varepsilon$-окрестности. Разделите на два.

[bigarcus]

Жалко что не все в одном месте будет. Вопросы же делить придется. Неужели дело в том, что назвать тему мне нужно было иначе, обобщающе?

-- Пн май 09, 2011 19:49:40 --

А в математике, вообще, что понимают под "пространством"?
Множество какое-то, а его элементы - точками называют (вроде я такое где-то видел)? Но иногда мне кажется будто что другое подразумевают...

[ewert]

bigarcus в сообщении #444074 писал(а):

А в математике, вообще, что понимают под "пространством"?

Что угодно. Просто неудобно всё время талдычить: "множество, множество, множество...". И в глазах рябит, и мысли заплетаются.

[bigarcus]

Эээ... то есть, пространство и множество - просто два термина для одного понятия?
И как выбирается когда какой использовать?