2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 11:37 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Решить систему уравнений

$\begin{cases}
x^2+4y=n^2 \\
y^2+4x=m^2 
\end{cases}$

а) в целых неотрицательных числах (это очень легко!)

б) в целых числах (а вот тут интересненько!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Xenia1996 в сообщении #443855 писал(а):
(это очень легко!)
Не сказал бы. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:07 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
age в сообщении #443881 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #443855 писал(а):
(это очень легко!)
Не сказал бы. :?

Вы не очень внимательно читаете. "Очень легко" я написала только касательно первого пункта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:09 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
А вы очень внимательно читали мой ответ? Там указано что он относится ко второму пункту?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:18 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
age в сообщении #443888 писал(а):
А вы очень внимательно читали мой ответ? Там указано что он относится ко второму пункту?

Надеюсь, Вы пошутили.
Первый пункт решается практически в одну строчку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:21 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Нет, я не пошутил. Решите в одну строчку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:31 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
age в сообщении #443891 писал(а):
Нет, я не пошутил. Решите в одну строчку.

Пусть $ x\ge y $. Тогда $x^2\le x^2+4y\le x^2+4x< x^2+4x+4=(x+2)^2$. Значит, либо $n^2=(x+1)^2$, что невозможно из соображений чётности, либо $n^2=x^2$. Все решения системы : $ (0, k^2) $ с точностью до перестановки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ровно те же соображения для целых ("пусть $|x|\ge|y|$...") приводят к ещё одной серии решений: $(k, -k+1),\,k\in\mathbb N$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:55 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
ИСН в сообщении #443905 писал(а):
Ровно те же соображения для целых ("пусть $|x|\ge|y|$...") приводят к ещё одной серии решений: $(k, -k+1),\,k\in\mathbb N$

А как же (-4, -4)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:57 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Вообще-то, больше/меньше не есть "хороший тон" в решении уравнений. А если бы была система:
$\begin{cases} x^2+ky=n^2 \\ y^2+kx=m^2 \end{cases}$. Тогда что делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 14:04 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
age в сообщении #443910 писал(а):
Тогда что делать?

Новую тему открывать. Для новой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
age, хороший тон в решении уравнений - это когда уравнение убито и лежит решённое. А всё остальное фигня.
Xenia1996, чёрт! Как это получилось?
А, понятно: это случай $|x|=|y|$, который я отложил на закуску и забыл. :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 14:06 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
ИСН в сообщении #443916 писал(а):
Xenia1996, чёрт! Как это получилось?
А, понятно: это случай $|x|=|y|$, который я отложил на закуску и забыл. :lol:

А как же (-5, -6)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 14:10 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Xenia1996 в сообщении #443915 писал(а):
age в сообщении #443910 писал(а):
Тогда что делать?

Новую тему открывать. Для новой задачи.
Это не новая задача. Аналогичная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ёл...
Houston, we have a problem.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group