2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 11:37 
Решить систему уравнений

$\begin{cases}
x^2+4y=n^2 \\
y^2+4x=m^2 
\end{cases}$

а) в целых неотрицательных числах (это очень легко!)

б) в целых числах (а вот тут интересненько!)

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:02 
Аватара пользователя
Xenia1996 в сообщении #443855 писал(а):
(это очень легко!)
Не сказал бы. :?

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:07 
age в сообщении #443881 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #443855 писал(а):
(это очень легко!)
Не сказал бы. :?

Вы не очень внимательно читаете. "Очень легко" я написала только касательно первого пункта.

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:09 
Аватара пользователя
А вы очень внимательно читали мой ответ? Там указано что он относится ко второму пункту?

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:18 
age в сообщении #443888 писал(а):
А вы очень внимательно читали мой ответ? Там указано что он относится ко второму пункту?

Надеюсь, Вы пошутили.
Первый пункт решается практически в одну строчку.

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:21 
Аватара пользователя
Нет, я не пошутил. Решите в одну строчку.

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:31 
age в сообщении #443891 писал(а):
Нет, я не пошутил. Решите в одну строчку.

Пусть $ x\ge y $. Тогда $x^2\le x^2+4y\le x^2+4x< x^2+4x+4=(x+2)^2$. Значит, либо $n^2=(x+1)^2$, что невозможно из соображений чётности, либо $n^2=x^2$. Все решения системы : $ (0, k^2) $ с точностью до перестановки.

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:54 
Аватара пользователя
Ровно те же соображения для целых ("пусть $|x|\ge|y|$...") приводят к ещё одной серии решений: $(k, -k+1),\,k\in\mathbb N$

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:55 
ИСН в сообщении #443905 писал(а):
Ровно те же соображения для целых ("пусть $|x|\ge|y|$...") приводят к ещё одной серии решений: $(k, -k+1),\,k\in\mathbb N$

А как же (-4, -4)?

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 13:57 
Аватара пользователя
Вообще-то, больше/меньше не есть "хороший тон" в решении уравнений. А если бы была система:
$\begin{cases} x^2+ky=n^2 \\ y^2+kx=m^2 \end{cases}$. Тогда что делать?

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 14:04 
age в сообщении #443910 писал(а):
Тогда что делать?

Новую тему открывать. Для новой задачи.

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 14:04 
Аватара пользователя
age, хороший тон в решении уравнений - это когда уравнение убито и лежит решённое. А всё остальное фигня.
Xenia1996, чёрт! Как это получилось?
А, понятно: это случай $|x|=|y|$, который я отложил на закуску и забыл. :lol:

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 14:06 
ИСН в сообщении #443916 писал(а):
Xenia1996, чёрт! Как это получилось?
А, понятно: это случай $|x|=|y|$, который я отложил на закуску и забыл. :lol:

А как же (-5, -6)?

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 14:10 
Аватара пользователя
Xenia1996 в сообщении #443915 писал(а):
age в сообщении #443910 писал(а):
Тогда что делать?

Новую тему открывать. Для новой задачи.
Это не новая задача. Аналогичная.

 
 
 
 Re: Система уравнений в целых числах (красивая)
Сообщение09.05.2011, 14:11 
Аватара пользователя
Ёл...
Houston, we have a problem.

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group