Система уравнений в целых числах (красивая)

[Xenia1996]

Решить систему уравнений

$\begin{cases} x^2+4y=n^2 \\ y^2+4x=m^2 \end{cases}$

а) в целых неотрицательных числах (это очень легко!)

б) в целых числах (а вот тут интересненько!)

[age]

Xenia1996 в сообщении #443855 писал(а):

(это очень легко!)

Не сказал бы.

[Xenia1996]

age в сообщении #443881 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #443855 писал(а):

(это очень легко!)

Не сказал бы.

Вы не очень внимательно читаете. "Очень легко" я написала только касательно первого пункта.

[age]

А вы очень внимательно читали мой ответ? Там указано что он относится ко второму пункту?

[Xenia1996]

age в сообщении #443888 писал(а):

А вы очень внимательно читали мой ответ? Там указано что он относится ко второму пункту?

Надеюсь, Вы пошутили.
Первый пункт решается практически в одну строчку.

[age]

Нет, я не пошутил. Решите в одну строчку.

[Xenia1996]

age в сообщении #443891 писал(а):

Нет, я не пошутил. Решите в одну строчку.

Пусть $ x\ge y $. Тогда $x^2\le x^2+4y\le x^2+4x< x^2+4x+4=(x+2)^2$. Значит, либо $n^2=(x+1)^2$, что невозможно из соображений чётности, либо $n^2=x^2$. Все решения системы : $ (0, k^2) $ с точностью до перестановки.

[ИСН]

Ровно те же соображения для целых ("пусть $|x|\ge|y|$...") приводят к ещё одной серии решений: $(k, -k+1),\,k\in\mathbb N$

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #443905 писал(а):

Ровно те же соображения для целых ("пусть $|x|\ge|y|$...") приводят к ещё одной серии решений: $(k, -k+1),\,k\in\mathbb N$

А как же (-4, -4)?

[age]

Вообще-то, больше/меньше не есть "хороший тон" в решении уравнений. А если бы была система:
$\begin{cases} x^2+ky=n^2 \\ y^2+kx=m^2 \end{cases}$. Тогда что делать?

[Xenia1996]

age в сообщении #443910 писал(а):

Тогда что делать?

Новую тему открывать. Для новой задачи.

[ИСН]

age, хороший тон в решении уравнений - это когда уравнение убито и лежит решённое. А всё остальное фигня.
Xenia1996, чёрт! Как это получилось?
А, понятно: это случай $|x|=|y|$, который я отложил на закуску и забыл.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #443916 писал(а):

Xenia1996, чёрт! Как это получилось?
А, понятно: это случай $|x|=|y|$, который я отложил на закуску и забыл.

А как же (-5, -6)?

[age]

Xenia1996 в сообщении #443915 писал(а):

age в сообщении #443910 писал(а):

Тогда что делать?

Новую тему открывать. Для новой задачи.

Это не новая задача. Аналогичная.

[ИСН]

Ёл...
Houston, we have a problem.