Придумал такой пример.

Собственному значению

соответствует собственный вектор

Собственному значению

соответствует собственный вектор

Поскольку

, собственными векторами матрицы являются только

и

, но не

(здесь

и

-- вещественные множители).
Теперь возводим

в квадрат:

.
Двум собственным значениям

здесь соответствует одно значение

алгебраической (и геометрической) кратности

.
И поэтому старые собственные векторы

и

здесь можно линейно комбинировать. Уравнение для собственных векторов имеет вид

, и теперь любой вектор является собственным (ну, кроме нулевого).
В том числе прорва таких, которые не были собственными для матрицы

.