Линейные операторы.Собственные значения и векторы матриц

[Dashk]

как связаны собственные значения и векторы матриц А и $ A^5 $ ?

[svv]

Как Вы думаете, если $Ax=\lambda x$, то чему равно $A^2x=A(Ax)$?
Формулы пишите так, иначе тему отправят в карантин.

[Dashk]

Спасибо. То есть Вы хотите сказать, что собственные векторы нормального оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны????т.е. $ A x = \lambda x $, $ A y = \mu y $ и $ \lambda\neq \mu$ , то $ (x,y) = 0 $

[svv]

Нет, не это.
Пусть $\lambda$ -- собственное значение $A$. Это значит, что существует такой ненулевой вектор $x$, для которого $Ax=\lambda x$.
Тогда
$A^2 x = A(Ax)=A(\lambda x)= \lambda(Ax) =\lambda \lambda x = \lambda^2 x$.
Вам здесь понятен каждый переход? Очень важно, чтобы было всё понятно.

Итак, $A^2 x = \lambda^2 x$
А теперь посмотрите на это как на уравнение для собственных значений матрицы $A^2$. Видите, что является её собственным значением?

[Dashk]

Ее собственное значение- $ \lambda^2 $?
а как это связано с квадратной матрицей $ A^5 $ ?

[svv]

Да, верно.
Связано аналогично. Если $\lambda$ -- собственное значение $A$, $x$ -- собственный вектор $A$, то
$A^5x = AAAAAx=AAAA\lambda x=AAA\lambda\lambda x=AA\lambda\lambda\lambda x=$
$=A\lambda\lambda\lambda\lambda x = \lambda\lambda\lambda\lambda\lambda x =\lambda^5 x$.

Вы можете закончить формулировку так, чтобы её можно было поместить в справочник по математике:
Если $\mu$ -- собственное значение матрицы $A$, то ... -- собственное значение матрицы $A^n$.
Если $y$ -- собственный вектор матрицы $A$, то ... -- собственный вектор матрицы $A^n$.
Будьте внимательны! Здесь велика вероятность, что Вы "на автомате" ошибетесь.

[Dashk]

то есть $ \mu^n $ 'nj

[svv]

Собственное значение -- правильно. Заносим в справочник.
Собственный вектор -- нет. Смотрите внимательно. Я сказал:
Пусть $Ay=\mu y$, тогда $A^5 y=\mu^5 y$.
Вы уже увидели (правильно!), что $\mu^5$ -- собственное значение $A^5$. А что тогда в уравнении $A^5 y=\mu^5 y$ собственный вектор?
Изучающему математику часто мешает "боязнь простоты" или "боязнь неправдоподобности".

Жду ответа еще 5 минут и иду спать.

[Dashk]

y

[svv]

Да, см. л/с.