2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Линейные операторы
Сообщение07.05.2011, 22:15 
$ \lambda$, .. , $ \lambda_n $ -собственные значения, $ x^1 , ... , x^n $- соответствующие собственные векторы матрицы A. Какие собственные значения и векторы будут у матрицы ( $ \left E -  A^2\right $ )?

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение07.05.2011, 22:18 
Аватара пользователя
Подумайте сначала о чём-нибудь более простом. Вот, например, матрица $A^2$ (вопросы те же). C ней всё понятно?

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение07.05.2011, 22:30 
ДА ПОНЯТНО. Я в этом случае думаю,что надо из единичной матрицы(у которой по диагонали стоят Единички, а остальные элементы - нули)вычесть матрицу А умноженную саму на себя.Получим новую матрицу по которой и надо искать собственные значения и собственные векторы.КАК искать собственные значения и собственные векторы я тоже понимаю. Для начала наверно надо взять произвольную матрицу А.
ТОЛЬКО ПРАВИЛЬНО ЛИ ЭТО ВСЕ?

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение07.05.2011, 22:32 
Аватара пользователя
Поделитесь же тогда своим пониманием. Какие собственные значения и векторы будут у матрицы $A^2$?

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение07.05.2011, 22:39 
Надо составить характеристическое уравнение матрицы$A^2$. И найти лямбды,которые являются собст.зн. данной матрицы.Для этого из главной диагонали матрицы $A^2$ надо вычесть лямбды и найти определитель матрицы.затем в итоге полученное уравнение приравнять к нулю и найти лямбды,являющиеся собственными значениями.

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение07.05.2011, 22:56 
Аватара пользователя
В таком случае чего же Вы хотите? На Ваш первоначальный вопрос следует точно такой же ответ, только матрица другая.

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение07.05.2011, 23:13 
Убедиться в том, что это правильное решение.

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение07.05.2011, 23:24 
Аватара пользователя
Это правильное, но не решение. Ещё там зачем-то даны какие-то буковки, которые мы, возможно, должны были как-то использовать.
Слушайте, а что вообще такое собственные числа? Не как их находить (это я уже понял, что Вы знаете), а что они такое?

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение07.05.2011, 23:29 
Аватара пользователя
http://dxdy.ru/topic44238.html

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение08.05.2011, 11:38 
Аватара пользователя
Если всем всё понятно, то может мне кто поможет разобраться? Если $\lambda$ - соб. зн. $A$, то $\lambda ^2$ - соб. зн. $A^2$ - это ясно. Могут ли у $A^2$ быть другие соб. значения? Вроде нет, и это следует из того как возводится в квадрат жорданова клетка (можно ли проще показать?). Теперь рассмотрим соб. вектора. Если $x$ - соб. вектор $A$, то очевидно, что он будет и соб. вектором $A^2$. Могут ли у $A^2$ появиться новые соб. вектора? Например, над полем действительных чисел - могут (поворот на $180$ градусов). А над полем комплексных чисел? Наверное, тоже надо смотреть, что получается с жордановой клеткой?

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение08.05.2011, 13:01 
Аватара пользователя
Кстати, Р. Белман - Введение в теорию матриц. Стр. 129, упр. 21. "Показать, что соб. вектора матрицы $A$ являются соб. векторами $p(A)$ для любого полинома $p$. Обратное утверждение не всегда имеет место." В вопросе из первого поста вероятно подразумевалось, что размерность пространства - $n$, т.е. оператор имеет простой спектр.

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение08.05.2011, 19:13 
Аватара пользователя
мат-ламер писал(а):
Могут ли у $A^2$ быть другие соб. значения? Вроде нет, и это следует из того как возводится в квадрат жорданова клетка (можно ли проще показать?).
Пусть $\det |\lambda E-A|=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i)$. Тогда$$\det |\lambda^2 E-A^2|=\det |\lambda E-A|\;\det|\lambda E+A|=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i) \; \prod\limits_{i=1}^n (\lambda+\lambda_i)=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda^2-\lambda_i^2)$$
Мы нашли разложение на множители характеристического полинома матрицы $A^2$. Значит, нашли все его корни. Значит, нашли все собственные значения $A^2$.

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение08.05.2011, 20:39 
Аватара пользователя
svv. Спасибо. Может быть точнее в последней строке вместо $\lambda ^2$ написать $\lambda$, но и так понятно.

 
 
 
 Re: Линейные операторы
Сообщение09.05.2011, 14:12 
Аватара пользователя
Придумал такой пример.
$A=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}$
Собственному значению $\lambda_1=+1$ соответствует собственный вектор $x_1=\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$
Собственному значению $\lambda_2=-1$ соответствует собственный вектор $x_2=\begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}$
Поскольку $\lambda_1 \neq \lambda_2$, собственными векторами матрицы являются только $ax_1$ и $bx_2$, но не $ax_1+bx_2$ (здесь $a$ и $b$ -- вещественные множители).

Теперь возводим $A$ в квадрат: $A^2=E$.
Двум собственным значениям $A$ здесь соответствует одно значение $+1$ алгебраической (и геометрической) кратности $2$.
И поэтому старые собственные векторы $x_1$ и $x_2$ здесь можно линейно комбинировать. Уравнение для собственных векторов имеет вид $Ex=x$, и теперь любой вектор является собственным (ну, кроме нулевого).
В том числе прорва таких, которые не были собственными для матрицы $A$.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group