Линейные операторы

[Dashk]

$ \lambda$, .. , $ \lambda_n $ -собственные значения, $ x^1 , ... , x^n $- соответствующие собственные векторы матрицы A. Какие собственные значения и векторы будут у матрицы ( $ \left E - A^2\right $ )?

[ИСН]

Подумайте сначала о чём-нибудь более простом. Вот, например, матрица $A^2$ (вопросы те же). C ней всё понятно?

[Dashk]

ДА ПОНЯТНО. Я в этом случае думаю,что надо из единичной матрицы(у которой по диагонали стоят Единички, а остальные элементы - нули)вычесть матрицу А умноженную саму на себя.Получим новую матрицу по которой и надо искать собственные значения и собственные векторы.КАК искать собственные значения и собственные векторы я тоже понимаю. Для начала наверно надо взять произвольную матрицу А.
ТОЛЬКО ПРАВИЛЬНО ЛИ ЭТО ВСЕ?

[ИСН]

Поделитесь же тогда своим пониманием. Какие собственные значения и векторы будут у матрицы $A^2$?

[Dashk]

Надо составить характеристическое уравнение матрицы$A^2$. И найти лямбды,которые являются собст.зн. данной матрицы.Для этого из главной диагонали матрицы $A^2$ надо вычесть лямбды и найти определитель матрицы.затем в итоге полученное уравнение приравнять к нулю и найти лямбды,являющиеся собственными значениями.

[ИСН]

В таком случае чего же Вы хотите? На Ваш первоначальный вопрос следует точно такой же ответ, только матрица другая.

[Dashk]

Убедиться в том, что это правильное решение.

[ИСН]

Это правильное, но не решение. Ещё там зачем-то даны какие-то буковки, которые мы, возможно, должны были как-то использовать.
Слушайте, а что вообще такое собственные числа? Не как их находить (это я уже понял, что Вы знаете), а что они такое?

[svv]

http://dxdy.ru/topic44238.html

[мат-ламер]

Если всем всё понятно, то может мне кто поможет разобраться? Если $\lambda$ - соб. зн. $A$, то $\lambda ^2$ - соб. зн. $A^2$ - это ясно. Могут ли у $A^2$ быть другие соб. значения? Вроде нет, и это следует из того как возводится в квадрат жорданова клетка (можно ли проще показать?). Теперь рассмотрим соб. вектора. Если $x$ - соб. вектор $A$, то очевидно, что он будет и соб. вектором $A^2$. Могут ли у $A^2$ появиться новые соб. вектора? Например, над полем действительных чисел - могут (поворот на $180$ градусов). А над полем комплексных чисел? Наверное, тоже надо смотреть, что получается с жордановой клеткой?

[мат-ламер]

Кстати, Р. Белман - Введение в теорию матриц. Стр. 129, упр. 21. "Показать, что соб. вектора матрицы $A$ являются соб. векторами $p(A)$ для любого полинома $p$. Обратное утверждение не всегда имеет место." В вопросе из первого поста вероятно подразумевалось, что размерность пространства - $n$, т.е. оператор имеет простой спектр.

[svv]

мат-ламер писал(а):

Могут ли у $A^2$ быть другие соб. значения? Вроде нет, и это следует из того как возводится в квадрат жорданова клетка (можно ли проще показать?).

Пусть $\det |\lambda E-A|=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i)$. Тогда

$$\det |\lambda^2 E-A^2|=\det |\lambda E-A|\;\det|\lambda E+A|=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i) \; \prod\limits_{i=1}^n (\lambda+\lambda_i)=\prod\limits_{i=1}^n (\lambda^2-\lambda_i^2)$$

Мы нашли разложение на множители характеристического полинома матрицы $A^2$. Значит, нашли все его корни. Значит, нашли все собственные значения $A^2$.

[мат-ламер]

svv. Спасибо. Может быть точнее в последней строке вместо $\lambda ^2$ написать $\lambda$, но и так понятно.

[svv]

Придумал такой пример.
$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
Собственному значению $\lambda_1=+1$ соответствует собственный вектор $x_1=\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$
Собственному значению $\lambda_2=-1$ соответствует собственный вектор $x_2=\begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}$
Поскольку $\lambda_1 \neq \lambda_2$, собственными векторами матрицы являются только $ax_1$ и $bx_2$, но не $ax_1+bx_2$ (здесь $a$ и $b$ -- вещественные множители).

Теперь возводим $A$ в квадрат: $A^2=E$.
Двум собственным значениям $A$ здесь соответствует одно значение $+1$ алгебраической (и геометрической) кратности $2$.
И поэтому старые собственные векторы $x_1$ и $x_2$ здесь можно линейно комбинировать. Уравнение для собственных векторов имеет вид $Ex=x$, и теперь любой вектор является собственным (ну, кроме нулевого).
В том числе прорва таких, которые не были собственными для матрицы $A$.