Об естественных топологиях (по следам одной полемики)

[Kallikanzarid]

bayak в сообщении #441430 писал(а):

Верно, на плоскости. Однако не исключено, что плоскость свернута в виде слоения

Какого еще слоения?

-- Ср май 04, 2011 04:07:17 --

Кстати:

Цитата:

Где вы увидели-то (при не сохранении компактности) ретракт?

Почему вы удивляетесь несохранению компактности? $S^1$ - ретракт $S^1 \times \mathbb{R}$, нет?

[Munin]

bayak в сообщении #441430 писал(а):

Сейчас не могу, поскольку теховский файл пока мне не доступен.

Тогда потерпите до когда сможете. Или перепишите с экрана.

bayak в сообщении #441430 писал(а):

Что касается намотки, то берите вариант $e^{2\pi ix}$ и не ошибётесь.

Я не буду брать вариант, о смысле которого можно только догадываться. Пишите внятно и подробно - и не ошибётесь. Ваши обрывки мыслей - неуважение к окружающим.

[bayak]

Kallikanzarid в сообщении #441467 писал(а):

Какого еще слоения?

Слоения, которое анулирует некую дифференциальную форму.

Kallikanzarid в сообщении #441467 писал(а):

Почему вы удивляетесь несохранению компактности?

Потому что в вашем примере необходимо прямую непрерывным образом отобразить в точку, а это невозможно.

[Kallikanzarid]

bayak в сообщении #442078 писал(а):

Слоения, которое анулирует некую дифференциальную форму.

И что значит "Однако не исключено, что плоскость свернута в виде слоения"?

bayak в сообщении #442078 писал(а):

Потому что в вашем примере необходимо прямую непрерывным образом отобразить в точку, а это невозможно.

Да вы что $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto 0$ - неужели разрывно?

Как-то вы быстро сдулись, даже не интересно :)

[bayak]

Kallikanzarid, отображение в точку не проходит из-за отсутствия окрестности в образе. Вам дай волю, так вы и сферу сдуете в точку.

[Kallikanzarid]

bayak в сообщении #442529 писал(а):

Kallikanzarid, отображение в точку не проходит из-за отсутствия окрестности в образе. Вам дай волю, так вы и сферу сдуете в точку.

Вы отличаете непрерывное отображение от гомотопии вложений? Ну и да - гуглите определение окрестности и узнаете, что у точки она есть - ровно одна.

-- Пт май 06, 2011 12:12:23 --

Кстати, вы знаете определение терминального объекта? Угадайте, что является терминальным объектом в категории топологических пространств и непрерывных отображений А в категории пунктированных пространств он так и вообще будет нулевым

[bayak]

Kallikanzarid в сообщении #442534 писал(а):

Вы отличаете непрерывное отображение от гомотопии вложений? Ну и да - гуглите определение окрестности и узнаете, что у точки она есть - ровно одна.

Kallikanzarid, похоже, что я лопухнулся, когда поверил определению ретракции из википедии. Наверно автор вики-статьи под непрерывным отображением топологических пространств имел ввиду гомотопию.

Kallikanzarid в сообщении #442534 писал(а):

Кстати, вы знаете определение терминального объекта?

Не знаю.

[Kallikanzarid]

bayak в сообщении #442601 писал(а):

Kallikanzarid, похоже, что я лопухнулся, когда поверил определению ретракции из википедии. Наверно автор вики-статьи под непрерывным отображением топологических пространств имел ввиду гомотопию.

В определении ретракции - непрерывные отображения. И действительно, точка является ретрактом любого топологического пространства относительно любого вложения.

bayak в сообщении #442601 писал(а):

Не знаю.

Посмотрите

[bayak]

Kallikanzarid в сообщении #442634 писал(а):

В определении ретракции - непрерывные отображения. И действительно, точка является ретрактом любого топологического пространства относительно любого вложения.

Странно. Непонятно тогда какой смысл в такой ретракции. А с другой стороны, там же в качестве одного из свойств ретракции указано сохранение компактности.

Kallikanzarid в сообщении #442634 писал(а):

Посмотрите

Словосочетание "терминальный объект" оставило меня равнодушным, и потом вы не хотите читать мои опусы.

[Kallikanzarid]

bayak в сообщении #442922 писал(а):

Странно. Непонятно тогда какой смысл в такой ретракции. А с другой стороны, там же в качестве одного из свойств ретракции указано сохранение компактности.

Там - это где? Ретракция - это непрерывное отображение, левообратное вложению, нет?

bayak в сообщении #442922 писал(а):

Словосочетание "терминальный объект" оставило меня равнодушным, и потом вы не хотите читать мои опусы.

Терминальным в некоторой категории называют некоторый объект $T$ такой, что для каждого объекта $X$ этой категории существует единственный морфизм $t: X \to T$.

Теперь пусть $X$ - некоторый объект такой, что существует морфизм $f: T \to X$. Но по свойству терминального объекта $t \circ f = 1_T$, т.е. $t$ будет левообратным к $f$!

Теперь возмите категорию топологических пространств и непрерывных отображений и покажите, что точка $* = (\{*\}, \{\varnothing, \{*\}\})$ будет в этой категории терминальным объектом и, как следствие, ретрактом каждого топологического пространства.

-- Сб май 07, 2011 12:52:52 --

Сейчас посмотрел Википедию, вы могли иметь ввиду деформационный ретракт. Если так, то об этом нужно говорить явно.

[Oleg Zubelevich]

Kallikanzarid в сообщении #442923 писал(а):

Теперь возмите категорию топологических пространств и непрерывных отображений и покажите, что точка $* = (\{*\}, \{\varnothing, \{*\}\})$ будет в этой категории терминальным объектом и, как следствие, ретрактом каждого топологического пространства.

Да уж. Большая наука на марше. Ну кто бы мог подумать, что точка -- ретракт топологического пространства, если б не теория категорий с морфизмами, терминальными объектами. Сразу видно -- крупный специалист разъясняет.

[Kallikanzarid]

Oleg Zubelevich в сообщении #442946 писал(а):

Да уж. Большая наука на марше. Ну кто бы мог подумать, что точка -- ретракт топологического пространства, если б не теория категорий с морфизмами, терминальными объектами. Сразу видно -- крупный специалист разъясняет.

Зачем глумиться? :)