Задачки по (общей) топологии

[Kallikanzarid]

Бабай в сообщении #442418 писал(а):

Если $f:[0,1) \longrightarrow (0,1)$ - гомеоморфизм, то $f^{-1}((0,1))=[0,1)$ должно быть открытым...но это не так (в топологии вещественной прямой).
Но меня немного смущает мысль, что если мы забываем о том, что находимся на прямой, то и $(0,1)$ и $[0,1)$ открыты - каждое в своей (индуцированной) топологии.

Well, duh!

[мат-ламер]

Бабай. Если Вас что-то смущает, то попробуйте доказать негомеоморфность непосредственно (не погружая в прямую). Можно использовать следующие соображения. Допустим отрезок компактен. Полуинтервал и интервал - нет. При выбрасывании произвольной точки из интервала, остаток - несвязное множество, сост. из двух компонент связности. У полуинтервала можно найти точку, при выбрасывании которой, получим односвязное множество.

[Someone]

Бабай в сообщении #442258 писал(а):

Someone в сообщении #442153 писал(а):

Существует метрическое пространство из 4 точек, которое нельзя изометрично вложить ни в какое евклидово или гильбертово пространство. Вместе с тем, любое конечное метрическое пространство изометрично вкладывается в $C([0,1])$

Не понял…любое метрическое пространство можно изометрично вложить в любое полное метрическое пространство…разве не так? Но ведь и гильбертово пространство полно!

(Выделение моё.) Нет, это утверждение неверно. То четырёхточечное пространство, о котором я говорю, вкладывается в $C([0,1])$, но не вкладывается в гильбертово пространство (и полнота к делу отношения не имеет).

[Бабай]

Kallikanzarid в сообщении #442427 писал(а):

Бабай в сообщении #442418 писал(а):

Если $f:[0,1) \longrightarrow (0,1)$ - гомеоморфизм, то $f^{-1}((0,1))=[0,1)$ должно быть открытым...но это не так (в топологии вещественной прямой).
Но меня немного смущает мысль, что если мы забываем о том, что находимся на прямой, то и $(0,1)$ и $[0,1)$ открыты - каждое в своей (индуцированной) топологии.

Well, duh!

Я что-то не понял. Разве здесь есть какое-то субстанциальное грехопадение?

мат-ламер в сообщении #442449 писал(а):

Бабай. Если Вас что-то смущает, то попробуйте доказать негомеоморфность непосредственно (не погружая в прямую). Можно использовать следующие соображения. Допустим отрезок компактен. Полуинтервал и интервал - нет. При выбрасывании произвольной точки из интервала, остаток - несвязное множество, сост. из двух компонент связности. У полуинтервала можно найти точку, при выбрасывании которой, получим односвязное множество.

Мат-ламер, спасибо за указание. Я уже подозревал, что связность и компактность суть топологические инварианты…просто не хотел забегать вперёд (я про это ещё толком не читал). Я понимаю, что этим тоже можно пользоваться.

Someone в сообщении #442456 писал(а):

Бабай в сообщении #442258 писал(а):

Someone в сообщении #442153 писал(а):

Существует метрическое пространство из 4 точек, которое нельзя изометрично вложить ни в какое евклидово или гильбертово пространство. Вместе с тем, любое конечное метрическое пространство изометрично вкладывается в $C([0,1])$

Не понял…любое метрическое пространство можно изометрично вложить в любое полное метрическое пространство…разве не так? Но ведь и гильбертово пространство полно!

(Выделение моё.) Нет, это утверждение неверно. То четырёхточечное пространство, о котором я говорю, вкладывается в $C([0,1])$, но не вкладывается в гильбертово пространство (и полнота к делу отношения не имеет).

Someone, да, спасибо... теперь ясно, что оно неверно (подсмотрел). Но вот о том, как выглядит это мн-во из 4ех элементов (в Вашем контексте), я что-то не имею ни малейшего представления.

[Someone]

Метрическое пространство я Вам подскажу. Рассмотрим множество $X=\{o,a,b,c\}$, а метрику на нём определим так: $d(o,o)=d(a,a)=d(b,b)=d(c,c)=0$, $d(o,a)=d(o,b)=d(o,c)=1$, $d(a,b)=d(a,c)=d(b,c)=2$.
А Вы докажите его свойства: что оно не вкладывается с сохранением расстояний в евклидово и даже в гильбертово пространство, но вкладывается в $C([0,1])$.

[Padawan]

В $C[0,1]$, кстати, изометрично вкладывается любое сепарабельное метрическое пространство (теорема Банаха-Мазура)

[Someone]

Вот, а я всё пытался вспомнить, что же это за теорема. Спасибо, напомнили. Но там, вроде бы, речь идёт о банаховых пространствах, а не вообще о метрических?

Добавление. Хотя в математической энциклопедии написано, что теорема верна для сепарабельных метрических пространств.