Задачки по (общей) топологии

[Бабай]

Источник: А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, Курс дифференциальной геометрии и топологии, изд. Факториал, 2000

Я решил выставлять решения (отдельных задач) сюда для самоконтроля…(если у кого-то есть время, был бы рад замечаниям и указанием на грехи)...а может и кому-нибудь ещё пригодится.

Сразу появился вопрос к первой задаче:

1. Привести пример метрики на конечном множестве, которая не индуцируется никаким его вложением в евклидово пространство.

Что понимается здесь под "вложением в евклидово пространство"?


2. Показать, что конечное множество на прямой является замкнутым.

Решение: Дополнение к конечному множеству на прямой суть (конечное) объединение интервалов. Интервалы - открытые множества. Объединение открытых множеств есть открытое множество.

3. (Пусть $X$ - метрическое пространство.) Показать, что $\rho(x,Y)=\rho(x,\bar{Y})$. (Здесь: $\bar{Y}$ - замыкание множества $Y \subseteq X$; $\rho(x,Y):=\inf_{y \in Y}\rho(x,y)$; $\rho(x,\bar{Y}):=\inf_{y \in \bar{Y}}\rho(x,y))$)

Решение:
Так как $Y \subseteq \bar{Y}$, то, очевидно, $\rho(x,Y) \ge \rho(x,\bar{Y})$.
Теперь, пусть $x \in X$ - точка прикосновения для $Y$. Тогда $\rho(x,Y)=0$. Так как $\rho(x,y) \ge 0$ для всех $y \in \bar{Y}$, то $\rho(x,\bar{Y}) \ge 0$.
В случае если $x \in X \setminus \bar{Y}$, то, используя неравенство треугольника, получаем для произвольной точки прикосновения $z$ множества $Y$: $\rho(x,Y) \le \rho(x,y) \le \rho(x,z)+\rho(z,y)$. Так как $\rho(x,Y)$ не зависит ни от $z$ ни от $y$, то смеем взять инфимум сначала по $y \in Y$ справа и получить: $\rho(x,Y) \le \rho(x,z) + \rho(z,Y)$. Но $z$ - точка прикосновения, и поэтому $\rho(z,Y)=0$. Теперь осталость взять справа инфимум по $z\in \bar{Y}$.

5. Показать, что любая метрика на конечном множестве индуцирует на нём дискретную топологию.

Решение:
Покажем, что если $X$ есть конечное множество, то для всех метрик $d$ имеем $\mathcal{T}_d=\mathcal{P}(X)$. Действительно, с одной стороны понятно, что $\mathcal{T}_d \subseteq \mathcal{P}(X)$. Теперь возьмём произвольное открытое множество $O \in \mathcal{P}(X)$. Мы должны показать, что $O$ открыто относительно данной метрики, то есть для каждого $x \in X$ существует открытый шар $B_r(x) \subseteq O$. Чтобы найти этот шар, то есть чтобы определить $r$, нужно иметь в виду, что $X$ состоит из конечного числа элементов, типа $X:=\{x_1,...,x_n\}$. Если снабдить $X$ метрикой, то каждой паре точек $(x_i,x_j)$ с фиксированным $i=1,...,n$ соответствует расстояние между ними $d(x_i,x_j)=r_{j}$, где $i \neq j$. В простейшем случае $X=\{x_1\}$ мы можем выбрать для $r$ любое положительное вещественное число. Но если $X$ содержит хотя бы два различных элемента или конечное их число, то имеем шар $B_r(x_i)$ с $r:=\min_{j \neq i}r_j$. В любом случае шар имеет вид $B_r(x_i)=\{x_i\}$.

[Kallikanzarid]

1) Т.е. привести такую метрику, чтобы получившееся пространство нельзя было изометрично вложить в евклидово пространство.

[мат-ламер]

Для первой задачи скорее всего достаточно четырёх точек, и надо будет их так подобрать, что каждые три точки из четырёх соответствуют некоторому треугольнику, а для всех четырёх тетраэдра не найти. По поводу пятой задачи. Очень много написано и возможно правильно (не прочёл). Интуитивно кажется, что любые две точки можно окружить непересекающимися окрестностями, причём в нашем случае эти окрестности будут состоять собственно из самих точек.

[Бабай]

Странно, в книге изометрические вложения пока не упоминались. Вообще, меня смутило выражение "индуцированное вложением"…до сих пор речь шла только лишь об "индуцированной топологии" (для подмножеств объемлющего пространства).

По определению отображение $f: (X,d_X) \longrightarrow (Y,d_Y)$ есть изометрическое вложение, если оно сохраняет расстояния: $d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)$ для любых $x,y \in X$. Уже видно, что это отображение инъективно (то есть биективно на подпространство в $Y$). Кроме того оно непрерывно…причем в обе стороны…то есть это гомеоморфизм.

Либо я что-то не допонимаю, но почему бы не взять просто конечное множество в $\mathbb{R}^n$, предварительно снабдив его дискретной метрикой? Ясно, что уже не для всех гомеоморфизмов $f$ расстояния будут оставаться неизменными для всех $x,y \in X$. Значит, нужно будет показать, что таких $f$ и быть не может?

[Kallikanzarid]

Под евклидовым пространством подразумевается $(\mathbb{R}^n, (x, y) \mapsto |x - y|)$

-- Чт май 05, 2011 11:28:24 --

Вам нужно взять конечное множество $(X, \rho_X)$ такое, что не существует его изометрического вложения в евклидово пространство :) Если размерность евклидового пространства фиксирована и равна $n$, то достаточно взять $n+2$ точки с попарно равными расстояниями между ними. Если не фиксирована, то придется изощряться :)

[Someone]

Существует метрическое пространство из 4 точек, которое нельзя изометрично вложить ни в какое евклидово или гильбертово пространство. Вместе с тем, любое конечное метрическое пространство изометрично вкладывается в $C([0,1])$

Решение 5 у Вас чрезмерно усложнённое. Возьмите минимальное расстояние между (различными) точками заданного конечного пространства. Оно больше нуля. Любой шар с радиусом, меньшим этого расстояния, будет содержать только одну точку.

[Бабай]

Someone в сообщении #442153 писал(а):

Существует метрическое пространство из 4 точек, которое нельзя изометрично вложить ни в какое евклидово или гильбертово пространство. Вместе с тем, любое конечное метрическое пространство изометрично вкладывается в $C([0,1])$

Не понял…любое метрическое пространство можно изометрично вложить в любое полное метрическое пространство…разве не так? Но ведь и гильбертово пространство полно!

[Бабай]

6. Доказать, что интервал, полуинтервал и сегмент на вещественной прямой попарно не гомеоморфны.

Предварительный вопрос: Является ли вообще мощность множества топологическим инвариантом? (Здесь это, конечно, не поможет, т.к. все три вещи равномощны.)

[svv]

А у этих множеств разная мощность?

[Бабай]

svv в сообщении #442288 писал(а):

А у этих множеств разная мощность?

Я как-раз редактировал своё сообщение по этому поводу.

[Joker_vD]

Бабай в сообщении #442286 писал(а):

Является ли вообще мощность множества топологическим инвариантом?

Конечно является: гомеоморфизм обязан быть, помимо всего прочего, биективным отображением.

[Бабай]

Ну если интервал, полуинтервал и сегмент рассматривать относительно вещественной прямой, то вроде бы делать нечего, т.к. видно, что будет нарушаться непрерывность отображения. А если их рассматривать безотносительно к прямой, как самостоятельные пространства?…как лучше формально говорить о нарушении непрерывности?

[ewert]

Бабай в сообщении #442312 писал(а):

А если их рассматривать безотносительно к прямой, как самостоятельные пространства?…как лучше формально говорить о нарушении непрерывности?

А Вы погрузите их в прямую. Непрерывность-то от этого не изменится.

[мат-ламер]

Бабай. К Вам встречный вопрос.

(Оффтоп)

как-бы намекаю

Являются ли открытость и замкнутость множеств (которые принадлежат одному топол. пространству) топологическими инвариантами?

[Бабай]

Бабай в сообщении #442312 писал(а):

Ну если интервал, полуинтервал и сегмент рассматривать относительно вещественной прямой, то вроде бы делать нечего, т.к. видно, что будет нарушаться непрерывность отображения. А если их рассматривать безотносительно к прямой, как самостоятельные пространства?…как лучше формально говорить о нарушении непрерывности?

В первом предложении я вроде бы как-раз это имел в виду:
Если $f:[0,1) \longrightarrow (0,1)$ - гомеоморфизм, то $f^{-1}((0,1))=[0,1)$ должно быть открытым...но это не так (в топологии вещественной прямой).
Но меня немного смущает мысль, что если мы забываем о том, что находимся на прямой, то и $(0,1)$ и $[0,1)$ открыты - каждое в своей (индуцированной) топологии.