Имеется плотность распределения. Найти...

[--mS--]

Zag в сообщении #440015 писал(а):

Получилось у меня $\frac{1}{3}A$, проверьте, пожалуйста, верно ли сосчитал

Совершенно верно. Отсюда $A=3$.

[ИСН]

(Оффтоп)

--mS--, если махать крыльями за других, они никогда не...

[Zag]

--mS--
Спасибо, значит с А разобрались

Числовые характеристики это дисперсия и мат. ожидание, так?

Мат. ожидание выходит $M[X]=\int\limits_{- \infty}^{+ \infty}xdF_x(x)$
Верно? Но что в этом случае подставлять вместо x - единицу?

Ну и совсем непонятно, что такое "первая случайная величина" и как найти $P(x<2y)$

[--mS--]

Zag в сообщении #440039 писал(а):

--mS--
Числовые характеристики это дисперсия и мат. ожидание, так?

Мат. ожидание выходит $M[X]=\int\limits_{- \infty}^{+ \infty}xdF_x(x)$
Верно? Но что в этом случае подставлять вместо x - единицу?

Ну и совсем непонятно, что такое "первая случайная величина" и как найти $P(x<2y)$

У Вас двумерная случайная величина. Соответственно, математическое ожидание - это вектор из матожиданий $(\mathsf M(X), \mathsf M(Y))$. Не дисперсия, а две дисперсии и коэффициент корреляции или ковариация. Вообще говоря, для вычисления всех характеристик достаточно одной формулы: для произвольной функции $g(x,y)$

$$\mathsf M g(X,Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y)f(x,y)dy dx. $$

Например, чтобы посчитать математическое ожидание $\mathsf M(X)$, достаточно взять $g(x,y)=x$.

"Первая" случайная величина - это $X$. Вы выше приводили условие согласованности. Чтобы найти плотность $f_X(x)$, нужно (при каждом фиксированном $x$!) совместную плотность проинтегрировать по всем значениям $y$.

А в чём проблема найти вероятность $\mathsf P(X < 2Y)$? Любая вероятность паре случайных величин что-то делать (попадать в какую-то часть плоскости) есть интеграл от совместной плотности по этой части плоскости. В данном случае речь идёт о части плоскости (вернее, Вашего треугольника) $x < 2y$.

[Zag]

Цитата:

"Первая" случайная величина - это . Вы выше приводили условие согласованности. Чтобы найти плотность , нужно (при каждом фиксированном x!) совместную плотность проинтегрировать по всем значениям .

То есть надо взять единичный интеграл от данной в условии плотности с пределами от 0 до 1, так?

Цитата:

Любая вероятность паре случайных величин что-то делать (попадать в какую-то часть плоскости) есть интеграл от совместной плотности по этой части плоскости. В данном случае речь идёт о части плоскости (вернее, Вашего треугольника) .

То есть тут пределы интеграла будут от 0 до -2y?

По-любому, спасибо за помощь. Кое-что начинает проясняться

[--mS--]

Zag в сообщении #440094 писал(а):

Цитата:

"Первая" случайная величина - это . Вы выше приводили условие согласованности. Чтобы найти плотность , нужно (при каждом фиксированном x!) совместную плотность проинтегрировать по всем значениям .

То есть надо взять единичный интеграл от данной в условии плотности с пределами от 0 до 1, так?

Не совсем. Например, пусть $x=0,5$ (поставьте точку на оси абсцисс в Вашем треугольнике). Что означает интегрирование по всем возможным $y$ при этом $x$? В каких границах придётся интегрировать?

Zag в сообщении #440094 писал(а):

То есть тут пределы интеграла будут от 0 до -2y?

Не понимаю. Рисуете область интегрирования в Вашем треугольнике, потом записываете двойной интеграл.

[Zag]

Цитата:

Не совсем. Например, пусть (поставьте точку на оси абсцисс в Вашем треугольнике). Что означает интегрирование по всем возможным при этом ? В каких границах придётся интегрировать?

ммм... означает что интеграл будет от 0 до 0,5y?

Цитата:

Не понимаю. Рисуете область интегрирования в Вашем треугольнике, потом записываете двойной интеграл.

Не понимаю, какую область должен интегрировать. Получается, если $x$ должен быть меньше, чем $2y$, то мне надо интегрировать 1/3 области трегуольника? То есть у интеграла $y$ область будет от 0 до 2/3, а у $x$ от 0 до 1/3, верно?

[--mS--]

Zag в сообщении #440165 писал(а):

ммм... означает что интеграл будет от 0 до 0,5y?

Граница интегрирования по $y$ зависит от $y$?

Zag в сообщении #440165 писал(а):

Не понимаю, какую область должен интегрировать. Получается, если $x$ должен быть меньше, чем $2y$, то мне надо интегрировать 1/3 области трегуольника? То есть у интеграла $y$ область будет от 0 до 2/3, а у $x$ от 0 до 1/3, верно?

Не понимаю, что тут написано. Область $\{x < 2y\}$. Граница этой области есть прямая $x=2y$, или $y=x/2$.

(Оффтоп)

Освойте, пожалуйста, кнопку "цитата". Во всех цитатах Вы из слов собеседника делаете бог знает что, потому что формулы исчезают.

[Zag]

--mS-- в сообщении #440280 писал(а):

Не понимаю, что тут написано. Область $\{x < 2y\}$. Граница этой области есть прямая $x=2y$, или $y=x/2$.

Итого, чтобы найти мою вероятность, мне надо взять такой интеграл?
$ \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{2} (A(x+y))dxdy$

Область я нарисовал, но с пределами интегрирования все равно ничего не пойму

--mS-- в сообщении #440152 писал(а):

Не совсем. Например, пусть $x=0,5$ (поставьте точку на оси абсцисс в Вашем треугольнике). Что означает интегрирование по всем возможным $y$ при этом $x$? В каких границах придётся интегрировать?

от 0 до 0,5 $x$?

[--mS--]

Zag в сообщении #442692 писал(а):

Итого, чтобы найти мою вероятность, мне надо взять такой интеграл?
$ \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{2} (A(x+y))dxdy$

Область $\{x<2y\}$ не есть прямоугольник $[0,\,2]\times[0,\,1]$. Более того - и плотность в большей части этого прямоугольника нулевая, а не $A(x+y)$.

Zag в сообщении #442692 писал(а):

Область я нарисовал, но с пределами интегрирования все равно ничего не пойму

--mS-- в сообщении #440152 писал(а):

Не совсем. Например, пусть $x=0,5$ (поставьте точку на оси абсцисс в Вашем треугольнике). Что означает интегрирование по всем возможным $y$ при этом $x$? В каких границах придётся интегрировать?

от 0 до 0,5 $x$?

Проверяем. Беру $y$ из указанной области: $y=0$. Проверяем неравенство: $x<2y$: $0,5 < 2\cdot 0$ - неравенство неверно. Нет, не по этому отрезку нужно интегрировать при $x=0,5$.

Покажите область, которую нарисовали.

[Zag]

Область
Вот область, по которой я ищу $P(x<2y)$


Скажите, пожалуйста, откуда до куда интегрировать, чтобы найти плотность $X

[--mS--]

Zag в сообщении #442752 писал(а):

Область
Вот область, по которой я ищу $P(x<2y)$


Скажите, пожалуйста, откуда до куда интегрировать, чтобы найти плотность $X

Н-да... Судя по рисунку, $1/2=2$? Ещё: Вы различаете неравенства $x < 2y$ и $x > 2y$? Вам предъявляют обоснование того, что область под прямой НЕ может устраивать нужному неравенству, Вы снова её приводите.

Жду правильную область.

[Zag]

Новая область

[--mS--]

Zag в сообщении #442777 писал(а):

Новая область

Хорошо. Вы забыли пересечь её с той областью, в которой плотность определена. Вот по пересечению и интегрируйте - от нижней границы до верхней.

[Zag]

Конечная область
Вышла такая область
Но вопрос - как найти точку пересечения двух прямых?)

На глаз там где-то 0,65