Каноничность преобразования

[ChaosProcess]

Честно говоря немного лень было разбираться но все же:
как определить канонично ли преобразование фазового пространства или нет, не зная гамильтониан первоначальной системы координат?

[Alex-Yu]

ChaosProcess в сообщении #438976 писал(а):

Честно говоря немного лень было разбираться но все же:
как определить канонично ли преобразование фазового пространства или нет, не зная гамильтониан первоначальной системы координат?

Вычислить скобки Пуассона между новыми переменными (координатами и импульсами).

[myhand]

ChaosProcess в сообщении #438976 писал(а):

как определить канонично ли преобразование фазового пространства или нет, не зная гамильтониан первоначальной системы координат?

А что вообще такое "гамильтониан первоначальной системы координат"? Вопрос №2 - причем вообще какой-то "гамильтониан" к определению канонического преобразования?

Короче, ответ Alex-Yu считаю "неправильным". Правильный - таки лезть "разбираться" с азами механики (в т.ч. и узнать определение канонического преобразования). Если хотите "по-быстрому" - смотрите первую и последнюю главы Ландавшица т.I.

[Oleg Zubelevich]

myhand в сообщении #439192 писал(а):

Правильный - таки лезть "разбираться" с азами механики (в т.ч. и узнать определение канонического преобразования). Если хотите "по-быстрому" - смотрите первую и последнюю главы Ландавшица т.I.

Как мягко заметил Арнольд, в ЛЛ-1 определение канонического преобразования не эквивалентно общепринятому.

[ChaosProcess]

Меня интересует техническая сторона дела.
Каноническое преобразование преобразует гамильтонову систему в гамильтонову. Система гамильтонова если существует функция гамильтона такая, что выписанные канонические уравнения гамильтона разрешимы. А разрешимы они если смешанные частные производные функции гамильтона по $p$ и $q$ равны друг другу. Но как верно заметил myhand, каноническое преобразование разумеется не зависит от гамильтониана первоначальной системы оно должно всегда переводить гамильтонову систему в гамильтонову. Вот и возникает вопрос: есть у меня преобразование двумерного фазового пространства. Как проверить каноничность преобразования.
Лично я пытался выражать производные новых координат по времени через новые координаты и затем смотреть равенства частных производных. Но не выходит каменный цветок.
Жду ваших предложений.

-- Ср апр 27, 2011 18:11:01 --

Alex-Yu

Цитата:

Вычислить скобки Пуассона между новыми переменными (координатами и импульсами)

Можно поподробнее, почему это будет работать?

-- Ср апр 27, 2011 18:20:12 --

Также можно идти через критерий каноничности - посмотреть, существует ли валентность и производящая функция. Но чет с выкладками не получается.

[myhand]

Oleg Zubelevich в сообщении #439200 писал(а):

Как мягко заметил Арнольд, в ЛЛ-1 определение канонического преобразования не эквивалентно общепринятому.

"Общепринятое" - это где? Можно мягко заметить Вам, что приводить голословные утверждения, без ссылок - нехорошо?

Определение в курсе Арнольда - более абстрактное. А принципиальные различия есть?

ChaosProcess в сообщении #439205 писал(а):

Как проверить каноничность преобразования.

Вам даже написали как. Выражаете новые переменные $(P,Q)$ через старые $(p,q)$ и считаете в последних скобки Пуассона. Должно получиться $\{P,Q\}=1$, $\{P,P\}=\{Q,Q\}=0$.

ChaosProcess в сообщении #439205 писал(а):

Каноническое преобразование преобразует гамильтонову систему в гамильтонову.

Не специальную конкретную, а любую (подходящей размерности, конечно).

ChaosProcess в сообщении #439205 писал(а):

Можно поподробнее, почему это будет работать?

В силу того, что смысл каноничности преобразования - в том, что они сохраняют вид симплектической структуры. Ну, аналогично движениям римановой метрики, например.

[myhand]

Oleg Zubelevich в сообщении #439316 писал(а):

Например вот:

А что с этим не так? Вы можете привести пример канонического преобразования, которое не удовлетворяет этим соотношениям?

Oleg Zubelevich в сообщении #439316 писал(а):

Не очень понятно какую ссылку Вы хотите.

На "общепринятость". И на принципиальные различия определений.

Вот я беру книжку "Теоретическая механика" Ольховского - и вижу там определение "по-Ландау". Открываю страницу википедии - вижу там то же самое определение. Какой тогда смысл Вы вкладываете в "общепринятость"?

Oleg Zubelevich в сообщении #439316 писал(а):

Определения бывают эквивалентные и неэквивалентные.

И Вы можете привести содержательный пример канонического преобразования по-Арнольду, которое не является таковым по-Ландау (или наоборот)? Приведите, пожалуйста.

[ChaosProcess]

myhand

Цитата:

Не специальную конкретную, а любую (подходящей размерности, конечно).

Не совсем понял, что имеется ввиду.Естественно, речь не шла о каких-то специальных гамильтоновых системах.
А по поводу сохранения структуры симплектического многообразия это конечно хорошо, но я не рассматривал такой формализм.(по стажу еще не полагается)

[Oleg Zubelevich]

myhand в сообщении #439319 писал(а):

И Вы можете привести содержательный пример канонического преобразования по-Арнольду, которое не является таковым по-Ландау (или наоборот)? Приведите, пожалуйста.

"Содержательность" примера и "принципиальность" отличия определений
взвешивать, разновесов не придумали. Одна надежда на Ваше авторитетное мнение. А пример привести легко, называется каноническая перестановка: $P=-q,\quad Q=p$. Это преобразование канонично в смысле Вашего определения, которое и является стандартным, но не канонично в смысле ЛЛ-1:

myhand в сообщении #439319 писал(а):

Вот я беру книжку "Теоретическая механика" Ольховского - и вижу там определение "по-Ландау". Открываю страницу википедии - вижу там то же самое определение. Какой тогда смысл Вы вкладываете в "общепринятость"?

Ну а теперь почитайте тексты людей, которые профессионально занимаются динамикой: Козлова, Марсдена, Фоменко. Я специально назвал представителей разных школ, а перечислять можно долго.

[Oleg Zubelevich]

Нет это я не прав. Цитированное определение из ЛЛ-1 как раз эквивалентно стандартному. Но это новая редакция ЛЛ. А Арнольд имел ввиду определение из старой редакции, в первых версиях ЛЛ было что-то типа: "Преобразование называется каноническим, если оно сохраняет вид уравнений Гамильтона, а теперь там даже сноска имеется. Так, что критикаАрнольда всеравно пошла им на пользу.

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich
На фотке кстати приведен только частный случай унивалентного преобразования, т.е. $c=1$
В общем случае в формуле сумму со старым $H$, $p$ и $q$ надо домножать на $c$.В Ландавшице приведен критерий каноничности, а не определение.

[myhand]

Oleg Zubelevich в сообщении #439341 писал(а):

Одна надежда на Ваше авторитетное мнение.

Надежда была на то, что Вы приведете хоть какой-то пример. Увы, напрасная.

Oleg Zubelevich в сообщении #439341 писал(а):

А пример привести легко, называется каноническая перестановка: $P=-q,\quad Q=p$. Это преобразование канонично в смысле Вашего определения, которое и является стандартным, но не канонично в смысле ЛЛ-1:

Оно является каноническим в смысле этого определения. Д/з - укажите производящую функцию (в ЛЛ это сделано).

Oleg Zubelevich в сообщении #439362 писал(а):

Нет это я не прав. Цитированное определение из ЛЛ-1 как раз эквивалентно стандартному. Но это новая редакция ЛЛ.

Не знаю, что Вы "имели в виду", но у меня "старое" издание (1965), где условием каноничности является сохранение вида уравнений Гамильтона в новых переменных.

Как ни странно, Ваш "пример" - замечательно является каноническим преобразованием и в этом смысле.

Oleg Zubelevich в сообщении #439341 писал(а):

Ну а теперь почитайте тексты людей, которые профессионально занимаются динамикой: Козлова, Марсдена, Фоменко. Я специально назвал представителей разных школ, а перечислять можно долго.

На что смотреть? Вот у Фоменко: "Преобразование ... фазового пространства в себя называется каноническим, если оно сохраняет кососимметрическое скалярное произведение (т.е. если форма $\Omega$ переходит в себя)". Звучит более страшно, но ровно ничем не отличается от более практических определений, что используют физики в курсах теормеха.

ChaosProcess в сообщении #439322 писал(а):

Не совсем понял, что имеется ввиду.Естественно, речь не шла о каких-то специальных гамильтоновых системах.

Размерность фазового пространства не меняется. А конкретный вид гамильтониана - абсолютно неважен.

[Oleg Zubelevich]

myhand в сообщении #439648 писал(а):

Не знаю, что Вы "имели в виду", но у меня "старое" издание (1965), где условием каноничности является сохранение вида уравнений Гамильтона в новых переменных.

Да, вот именно это определение и не эквивалентно стандартному.
Замена $p=2P,\quad q=Q$ не является канонической (не сохраняется 2-форма $dp\wedge dq$), но сохраняет вид уравнений Гамильтона.

myhand в сообщении #439648 писал(а):

Оно является каноническим в смысле этого определения.

Это я и сам заметил, постом ниже.

[Munin]

myhand в сообщении #439648 писал(а):

Не знаю, что Вы "имели в виду", но у меня "старое" издание (1965), где условием каноничности является сохранение вида уравнений Гамильтона в новых переменных.

Ландау, Пятигорский, 1940 год издания:

...

[myhand]

Oleg Zubelevich в сообщении #439657 писал(а):

Да, вот именно это определение и не эквивалентно стандартному.

Да, действительно. В новых изданиях добавлено явное условие, которое привязывает каноничность к существованию производящей функции (см. указанное Вами уравнение).

Однако, свойств скобок Пуассона, которые были описаны выше - достаточно для того, чтобы считать преобразование каноническим.

Munin в сообщении #439659 писал(а):

Ландау, Пятигорский, 1940 год издания

Спасибо за цитату из старого издания.