2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Каноничность преобразования
Сообщение26.04.2011, 23:18 


18/02/10
254
Честно говоря немного лень было разбираться но все же:
как определить канонично ли преобразование фазового пространства или нет, не зная гамильтониан первоначальной системы координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение27.04.2011, 16:35 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
ChaosProcess в сообщении #438976 писал(а):
Честно говоря немного лень было разбираться но все же:
как определить канонично ли преобразование фазового пространства или нет, не зная гамильтониан первоначальной системы координат?


Вычислить скобки Пуассона между новыми переменными (координатами и импульсами).

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение27.04.2011, 17:31 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
ChaosProcess в сообщении #438976 писал(а):
как определить канонично ли преобразование фазового пространства или нет, не зная гамильтониан первоначальной системы координат?
А что вообще такое "гамильтониан первоначальной системы координат"? Вопрос №2 - причем вообще какой-то "гамильтониан" к определению канонического преобразования?

Короче, ответ Alex-Yu считаю "неправильным". Правильный - таки лезть "разбираться" с азами механики (в т.ч. и узнать определение канонического преобразования). Если хотите "по-быстрому" - смотрите первую и последнюю главы Ландавшица т.I.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение27.04.2011, 17:53 


10/02/11
6786
myhand в сообщении #439192 писал(а):
Правильный - таки лезть "разбираться" с азами механики (в т.ч. и узнать определение канонического преобразования). Если хотите "по-быстрому" - смотрите первую и последнюю главы Ландавшица т.I.

Как мягко заметил Арнольд, в ЛЛ-1 определение канонического преобразования не эквивалентно общепринятому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение27.04.2011, 18:05 


18/02/10
254
Меня интересует техническая сторона дела.
Каноническое преобразование преобразует гамильтонову систему в гамильтонову. Система гамильтонова если существует функция гамильтона такая, что выписанные канонические уравнения гамильтона разрешимы. А разрешимы они если смешанные частные производные функции гамильтона по $p$ и $q$ равны друг другу. Но как верно заметил myhand, каноническое преобразование разумеется не зависит от гамильтониана первоначальной системы оно должно всегда переводить гамильтонову систему в гамильтонову. Вот и возникает вопрос: есть у меня преобразование двумерного фазового пространства. Как проверить каноничность преобразования.
Лично я пытался выражать производные новых координат по времени через новые координаты и затем смотреть равенства частных производных. Но не выходит каменный цветок.
Жду ваших предложений.

-- Ср апр 27, 2011 18:11:01 --

Alex-Yu
Цитата:
Вычислить скобки Пуассона между новыми переменными (координатами и импульсами)

Можно поподробнее, почему это будет работать?

-- Ср апр 27, 2011 18:20:12 --

Также можно идти через критерий каноничности - посмотреть, существует ли валентность и производящая функция. Но чет с выкладками не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение27.04.2011, 21:18 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Oleg Zubelevich в сообщении #439200 писал(а):
Как мягко заметил Арнольд, в ЛЛ-1 определение канонического преобразования не эквивалентно общепринятому.
"Общепринятое" - это где? Можно мягко заметить Вам, что приводить голословные утверждения, без ссылок - нехорошо?

Определение в курсе Арнольда - более абстрактное. А принципиальные различия есть?
ChaosProcess в сообщении #439205 писал(а):
Как проверить каноничность преобразования.
Вам даже написали как. Выражаете новые переменные $(P,Q)$ через старые $(p,q)$ и считаете в последних скобки Пуассона. Должно получиться $\{P,Q\}=1$, $\{P,P\}=\{Q,Q\}=0$.
ChaosProcess в сообщении #439205 писал(а):
Каноническое преобразование преобразует гамильтонову систему в гамильтонову.
Не специальную конкретную, а любую (подходящей размерности, конечно).
ChaosProcess в сообщении #439205 писал(а):
Можно поподробнее, почему это будет работать?
В силу того, что смысл каноничности преобразования - в том, что они сохраняют вид симплектической структуры. Ну, аналогично движениям римановой метрики, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение27.04.2011, 23:47 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Oleg Zubelevich в сообщении #439316 писал(а):
Например вот:
А что с этим не так? Вы можете привести пример канонического преобразования, которое не удовлетворяет этим соотношениям?
Oleg Zubelevich в сообщении #439316 писал(а):
Не очень понятно какую ссылку Вы хотите.
На "общепринятость". И на принципиальные различия определений.

Вот я беру книжку "Теоретическая механика" Ольховского - и вижу там определение "по-Ландау". Открываю страницу википедии - вижу там то же самое определение. Какой тогда смысл Вы вкладываете в "общепринятость"?
Oleg Zubelevich в сообщении #439316 писал(а):
Определения бывают эквивалентные и неэквивалентные.
И Вы можете привести содержательный пример канонического преобразования по-Арнольду, которое не является таковым по-Ландау (или наоборот)? Приведите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение28.04.2011, 00:31 


18/02/10
254
myhand
Цитата:
Не специальную конкретную, а любую (подходящей размерности, конечно).

Не совсем понял, что имеется ввиду.Естественно, речь не шла о каких-то специальных гамильтоновых системах.
А по поводу сохранения структуры симплектического многообразия это конечно хорошо, но я не рассматривал такой формализм.(по стажу еще не полагается)

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение28.04.2011, 08:33 


10/02/11
6786
myhand в сообщении #439319 писал(а):
И Вы можете привести содержательный пример канонического преобразования по-Арнольду, которое не является таковым по-Ландау (или наоборот)? Приведите, пожалуйста.

"Содержательность" примера и "принципиальность" отличия определений
взвешивать, разновесов не придумали. Одна надежда на Ваше авторитетное мнение. А пример привести легко, называется каноническая перестановка: $P=-q,\quad Q=p$. Это преобразование канонично в смысле Вашего определения, которое и является стандартным, но не канонично в смысле ЛЛ-1:

Изображение

myhand в сообщении #439319 писал(а):
Вот я беру книжку "Теоретическая механика" Ольховского - и вижу там определение "по-Ландау". Открываю страницу википедии - вижу там то же самое определение. Какой тогда смысл Вы вкладываете в "общепринятость"?

Ну а теперь почитайте тексты людей, которые профессионально занимаются динамикой: Козлова, Марсдена, Фоменко. Я специально назвал представителей разных школ, а перечислять можно долго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение28.04.2011, 10:40 


10/02/11
6786
Нет это я не прав. Цитированное определение из ЛЛ-1 как раз эквивалентно стандартному. Но это новая редакция ЛЛ. А Арнольд имел ввиду определение из старой редакции, в первых версиях ЛЛ было что-то типа: "Преобразование называется каноническим, если оно сохраняет вид уравнений Гамильтона, а теперь там даже сноска имеется. Так, что критикаАрнольда всеравно пошла им на пользу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение28.04.2011, 12:21 


18/02/10
254
Oleg Zubelevich
На фотке кстати приведен только частный случай унивалентного преобразования, т.е. $c=1$
В общем случае в формуле сумму со старым $H$, $p$ и $q$ надо домножать на $c$.В Ландавшице приведен критерий каноничности, а не определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение28.04.2011, 14:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Oleg Zubelevich в сообщении #439341 писал(а):
Одна надежда на Ваше авторитетное мнение.
Надежда была на то, что Вы приведете хоть какой-то пример. Увы, напрасная.
Oleg Zubelevich в сообщении #439341 писал(а):
А пример привести легко, называется каноническая перестановка: $P=-q,\quad Q=p$. Это преобразование канонично в смысле Вашего определения, которое и является стандартным, но не канонично в смысле ЛЛ-1:Изображение
Оно является каноническим в смысле этого определения. Д/з - укажите производящую функцию (в ЛЛ это сделано).
Oleg Zubelevich в сообщении #439362 писал(а):
Нет это я не прав. Цитированное определение из ЛЛ-1 как раз эквивалентно стандартному. Но это новая редакция ЛЛ.
Не знаю, что Вы "имели в виду", но у меня "старое" издание (1965), где условием каноничности является сохранение вида уравнений Гамильтона в новых переменных.

Как ни странно, Ваш "пример" - замечательно является каноническим преобразованием и в этом смысле.

Oleg Zubelevich в сообщении #439341 писал(а):
Ну а теперь почитайте тексты людей, которые профессионально занимаются динамикой: Козлова, Марсдена, Фоменко. Я специально назвал представителей разных школ, а перечислять можно долго.
На что смотреть? Вот у Фоменко: "Преобразование ... фазового пространства в себя называется каноническим, если оно сохраняет кососимметрическое скалярное произведение (т.е. если форма $\Omega$ переходит в себя)". Звучит более страшно, но ровно ничем не отличается от более практических определений, что используют физики в курсах теормеха.
ChaosProcess в сообщении #439322 писал(а):
Не совсем понял, что имеется ввиду.Естественно, речь не шла о каких-то специальных гамильтоновых системах.
Размерность фазового пространства не меняется. А конкретный вид гамильтониана - абсолютно неважен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение28.04.2011, 15:16 


10/02/11
6786
myhand в сообщении #439648 писал(а):
Не знаю, что Вы "имели в виду", но у меня "старое" издание (1965), где условием каноничности является сохранение вида уравнений Гамильтона в новых переменных.

Да, вот именно это определение и не эквивалентно стандартному.
Замена $p=2P,\quad q=Q$ не является канонической (не сохраняется 2-форма $dp\wedge dq$), но сохраняет вид уравнений Гамильтона.
myhand в сообщении #439648 писал(а):
Оно является каноническим в смысле этого определения.

Это я и сам заметил, постом ниже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение28.04.2011, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
myhand в сообщении #439648 писал(а):
Не знаю, что Вы "имели в виду", но у меня "старое" издание (1965), где условием каноничности является сохранение вида уравнений Гамильтона в новых переменных.

Ландау, Пятигорский, 1940 год издания:
Изображение
...
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Каноничность преобразования
Сообщение28.04.2011, 16:19 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Oleg Zubelevich в сообщении #439657 писал(а):
Да, вот именно это определение и не эквивалентно стандартному.
Да, действительно. В новых изданиях добавлено явное условие, которое привязывает каноничность к существованию производящей функции (см. указанное Вами уравнение).

Однако, свойств скобок Пуассона, которые были описаны выше - достаточно для того, чтобы считать преобразование каноническим.
Munin в сообщении #439659 писал(а):
Ландау, Пятигорский, 1940 год издания
Спасибо за цитату из старого издания.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group