Сферическая система координат

[Someone]

evgeniy в сообщении #437954 писал(а):

ИМеем две кривые y=y(x) с тангенсом наклона $y_x^{'}$ и другая кривая x=x(y) с тангенсом наклона $x_y^{'}$.

А Вы не могли бы просветить почтенную публику: что такое угол наклона и как определяется его тангенс? С картинками, по возможности.

[shwedka]

Цитата:

Условие ортогональности двух прямых линий $k_1 k_2=-1$, где величина $k_l,l=1,2$ тангенс наклона двух ортогональных линий.

Тангенс наклона К ЧЕМУ??

y=y(x) с тангенсом наклона $y_x^{'}$ к оси х

x=x(y) с тангенсом наклона $x_y^{'}$

а здесь-то уже к оси у!! Перепутали, дорогой!!


Или возьмите две прямые

Одна y=2x,

Другая x=-2y.

они ортогональны.

Посчитайте сами Ваше произведение

$y_x^{'} x_y^{'}$

У меня получается -4.
А у Вас?

[evgeniy]

Да действительно правильная формула
$y_x^{'} z_x^{'}=-1$, если заданы две кривые y=y(x),z=z(x).
да с формулой я ошибся, но это только меняет формулу, но не меняет алгоритма.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #438003 писал(а):

У меня получилось y=2x,y=-x/2

Так Вы, оказывается, не только в частных производных путаетесь, но и в обыкновенных

$x=-2y, x'_y=-2.$

evgeniy в сообщении #438003 писал(а):

$tan\beta=x_y^{'}$

И где Вы такую красоту нашли?
Ссылочку дайте!

[evgeniy]

Вы торопитесь и не даете мне осмыслить, что написано, обычно я исправляю несколько ошибок, мой ответ на предыдущем посте.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #438003 писал(а):

но не меняет алгоритма.

Алгоритма нет. Я уже много раз Вам писала, где жульничество.

evgeniy в сообщении #436703 писал(а):

Подставим в интеграл
$s_1=\int_{0}^{v_0}\sqrt{\lambda_1[u(v),v]}[g_{11}[u(v),v]\frac{du[u(v),v]}{dv}+g_{12}[u(v),v]]dv=s_1(v_0)$

А теперь нужно по-честному сосчитать полный дифференциал $ s_1$, не скрывая зависимости от константы с. И не пытаться его подменить чем-то другим. Вот в этой подмене Ваша ошибка.

shwedka в сообщении #437743 писал(а):

Весь обман будет виден сразу, когда Вы станете писать все не в общем виде, а для стандартных сферических координат, где уже метрический тензор имеет диагональную форму, уже координатные линии идут вдоль главных кривизн и тп.

Не нравятся стандартные, возьмите другие.

-- Сб апр 23, 2011 14:49:35 --

evgeniy в сообщении #438008 писал(а):

Вы торопитесь и не даете мне осмыслить, что написано, обычно я исправляю несколько ошибок, мой ответ на предыдущем посте.

А Вы не торопитесь, но все равно пишете чушь. Может, подумаете сначала.

[Munin]

evgeniy в сообщении #438008 писал(а):

обычно я исправляю несколько ошибок

но оставляете неверный ответ. Вы не понимаете, что исправление ошибок отражается и на окончательном ответе.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #438003 писал(а):

Да действительно правильная формула
$y_x^{'} z_x^{'}=-1$, если заданы две кривые y=y(x),z=z(x).
да с формулой я ошибся, но это только меняет формулу, но не меняет алгоритма.

И теперь, в Ваших прежних обозначениях,
ортогональная система кривых будет задаваться уравнениями
$\frac{du}{dv}=g(u,v)$
$\frac{dv}{du}=h(u,v)$
и правильное условие ортогональности теперь пишется
$g(u,v)=-h(u,v).$

Теперь ничто не мешает Вам рассмотреть стандартные координаты на сфере с самого начала. Там будет $g(u,v)=-h(u,v)=0.$
Уравнения решаются очень легко,
Вы считаете по Вашим формулам и видите, что Ваш вывод ошибочен.

[evgeniy]

Хотя тема названа сферическая система координат, я говорю о ее недостатках, в частности о не периодичности угла $\theta$. поэтому построена другая периодическая система координат, с помощью которой я надеюсь построить периодическую ортогональную систему координат. Система не ортогональных периодических углов сводится к следующей
$x_1=tan\phi_1/\sqrt{1+tan^2\phi_1+tan^2\phi_2}$
$x_2=tan\phi_2/\sqrt{1+tan^2\phi_1+tan^2\phi_2}$
$x_3=1/\sqrt{1+tan^2\phi_1+tan^2\phi_2}$
Но построенная по этим формулам система координат не имеет правильных знаков, поэтому ее надо преобразовать к виду
$x_1=sin\phi_1/\sqrt{1+cos^2\phi_1 tan^2\phi_2}$
$x_2=sin\phi_2/\sqrt{1+cos^2\phi_1 tan^2\phi_2}$
$x_3=cos\phi_1/\sqrt{1+cos^2\phi_1 tan^2\phi_2}$
тогда она правильно описывает знаки декартовых координат. Углы определяются по формуле $\phi_l=(x_3+ix_l)$, т.е. это вращение плоскости, для угла $\phi_1$, проходящей через ось $ox_2$ и угол определяется как угол, составляемый этой плоскостью с вертикальной плоскостью в сечении $x_1=const $.
Дифференциальное уравнение по определению направления сечений главных радиусов кривизны следующее
$(EM-FL)du^2+(EN-GL)dudv+(FN-GM)dv^2=0$\eqno(1)
где имеем следующие формулы для коэффициентов
$E=\sum_{k=1}^3(\frac{\partial x_k}{\partial u})^2$
$E=\sum_{k=1}^3\frac{\partial x_k}{\partial u}\frac{\partial x_k}{\partial v}$
$G=\sum_{k=1}^3(\frac{\partial x_k}{\partial v})^2$
$L=\frac{(\vec r_{uu}^{''},[\vec r_u^{'},\vec r_v^{'}])}{\sqrt{EG-F^2}}$
$M=\frac{(\vec r_{uv}^{''},[\vec r_u^{'},\vec r_v^{'}])}{\sqrt{EG-F^2}}$
$L=\frac{(\vec r_{vv}^{''},[\vec r_u^{'},\vec r_v^{'}])}{\sqrt{EG-F^2}}$
Из квадратичной формы (1), получаем дифференциальное уравнение
$\frac{du}{dv}=g(u,v)$
$\frac{dv}{du}=h(u,v)$
пРичем правые части этих дифференциальных ьуравнения не нулевые, как в ы утверждаете, а вполне реальные не нулевые функции. Условие ортогоналности g(u,v)=-h(u,v), отквуда получаем два независимых дифференциальных уравнения, одно из которых запишется в виде
$\frac{du}{dv}=g[u(v),v]\eqno(2)$
причем единственные начальные условия для этих дифференциальных уравнений $u_0,v_0$. Если бы уравнения были второго порядка, то тогда была бы еще произвольная первая производная, и получалась бы семейство кривых, с разной первой производной. Но уравнения имеют первый порядок, поэтому имеется вполне определенная начальная точка. нЕльзя брать вторую начальную точку, так как это приведет к неоднозначности координат. Строим квадратичную форму, как я много раз описывал и имеем зависимость кривые $s_1=\alpha(v),s_2=\beta(u)$. Если взять две начальные точки, то не получится однозначной зависимости от координат. Но вообще то, дифференциальныое уравнение (2) имеет одно решение. Получаем не противоречивый результат построения квадратичной формы $ds_1^2(v)+ds_2^2(u)$, который не удовлетворяет условию теоремы Гаусса о кривизне, так как дифференциал можно представить в виде $ds_1(v)=\frac{ds_1(v)}{dv}dv$.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #438842 писал(а):

так как дифференциал можно представить в виде $ds_1(v)=\frac{ds_1(v)}{dv}dv$.

В этом-то и ошибка.

evgeniy в сообщении #438842 писал(а):

Строим квадратичную форму, как я много раз описывал и имеем зависимость кривые $s_1=\alpha(v),s_2=\beta(u)$.

Неверно. Зажулена зависимость от начальной точки. А если ее вспомнить, то изменится формула для полного дифференциала.

Просчитайте подробно хотя бы один пример, и сам,и увидите ошибку.

[evgeniy]

Начальная точка фиксированна. Считать расстояние надо относительно одной начальной координаты. Если считать расстояние на поверхности тела от разных точек, то получится противоречие, относительно одной точки расстояние одно, относительно другой другое и все это является координатой точки. В случае дифференциального уравнения второго порядка начальная координата фиксированна, а меняется первая производная. Т.е. начальная точка определена, варьировать надо только производную, что реально. А начальная точка варьированию не подлежит.
ПРиведите пример когда начальная координата не фиксированна, точка отсчета всегда должна существовать и она единственна, после того как задана, для данной поверхности. Так у земного шара существует одна заданная точка отсчета, относительно которой считаются параллели и мередианы. Если я не ошибаюсь она расположена в Лондоне. Можно выбрать и в другом месте, но когда точка выбрана, следующая точка невозможна, она определяет другое расстояние. Выбрав другую точку за начало отсчета, забудьте про первую точку, иначе будут два расстояния, две совокупности координат, определяющие некоторую точку поверхности.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #438884 писал(а):

Так у земного шара существует одна заданная точка отсчета, относительно которой считаются параллели и мередианы.

У каждой параллели есть своя начальная точка. Например, на Лондонском меридиане. Эти начальные точки параметризуют семейство параллелей.

Вы старательно избегаете ответа на мое требование. Сосчитайте полный дифференциал Ваших новых переменных,
с учетом того, что у Вас не одна кривая, а семейство, как параллели. Дифференциал 'вдоль кривой' не годится.

Про теорему Гаусса Вы уже в который раз пишете, что она почему-то нарушается. Ваше личное измышление. Если настаиваете, то ссылочку, пожалуйста!

А в книге А.В.Погорелова, который по этому делу академиком был,
можете прочитать, что если только якобиан замены переменных отличен от нуля, то все правила замены переменных, включая теорему Гаусса, справедливы.
Но в Вашем, пардон, алгоритме якобиан очень сильно не нуль! Можете посчитать.

[evgeniy]

Не симметрия получается, меридианы параметризируются одним способом, а параллели другим, эти понятия аналогичны и параметризоваться должны симметрично.
Ответьте убедил ли я Вас, что начальную точку нужно брать одну, и следовательно по ней полный дифференциал не действует. При этом имеется две кривые u=u(v),v=v(u). Строим кривые $s_1=s_1(v),s_1=s_1(u)\eqno(1)$ полный дифференциал от этих функций, это дифференциал функции одной переменной, и я не избегаю ваши требования, а говорю, что имеется зависимость от одной единственной переменной. начальные условия фиксированны, как надеюсь я Вас убедил. Первая из построенных кривых (1), зависит только от v при произвольном u, а вторая зависит от u при произвольном v. Вот и получается сетка кривых на поверхности тела. По координате $(s_1,s_2)$ справедливых на всей поверхности тела определяем (u,v). Совершенно аналогичная ситуация с параллелями и меридианами.
Теперь, почему не применима теорема Гаусса. по теореме Гаусса для применимости формулы
$K=\frac{1}{\lambda}\Delta ln\lambda$
необходима квадратичная форма
$\lambda(du^2+dv^2)$,
которой у предлагаемой формулы нет. Она равна
$(\frac{ds_1}{dv})^2dv^2+(\frac{ds_2}{du})^2du^2$
Условие теоремы не выполняется, из-за неравенства
$\lambda=(\frac{ds_1}{dv})^2 \ne (\frac{ds_2}{du})^2$
Да у меня хорошая новость, мой доклад, посвященный солитонному решению нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными на конференции "Радиолокационное исследование окружающей среды", которую проводит академия имени Можайского поставили первым в данной секции. Плохо только, что придется рано вставать.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #440042 писал(а):

меридианы параметризируются одним способом, а параллели другим, эти понятия аналогичны и параметризоваться должны симметрично.

Неверно. Понятия не аналогичны. То, что 'должны'-- Ваше измышление.

evgeniy в сообщении #440042 писал(а):

что начальную точку нужно брать одну, и следовательно по ней полный дифференциал не действует.

Неправда.
У каждой параллели своя начальная точка. Слова 'полный дифференциал не действует'- бессмыслица.
Прочитайте снова в учебнике правило замены переменых.

evgeniy в сообщении #440042 писал(а):

При этом имеется две кривые u=u(v),v=v(u).

evgeniy в сообщении #440042 писал(а):

Вот и получается сетка кривых на поверхности тела.

Так все-таки две или сетка?

evgeniy в сообщении #440042 писал(а):

Строим кривые $s_1=s_1(v),s_1=s_1(u)\eqno(1)$ полный дифференциал от этих функций, это дифференциал функции одной переменной

Снова обычное Ваше вранье. Полный дифференциал функции двух переменных НЕ РАВЕН дифференциалу вдоль кривой. Полный дифференциал функции не может быть найден по значениям функции на одной кривой. В формулу замены переменных входит настоящий полный дифференциал.

evgeniy в сообщении #440042 писал(а):

По координате $(s_1,s_2)$ справедливых на всей поверхности тела определяем (u,v).

Вот это правильно. Так что ничего кроме настоящего полного дифференциала быть не может.

evgeniy в сообщении #440042 писал(а):

Теперь, почему не применима теорема Гаусса. по теореме Гаусса для применимости формулы
$K=\frac{1}{\lambda}\Delta ln\lambda$
необходима квадратичная форма
$\lambda(du^2+dv^2)$,

Чушь!! Теорема Гаусса говорит о том, что при замене переменных с невырожденным якобианом Гауссова кривизна инвариантна. Поэтому Ваше построение ОШИБОЧНО.
То, что Вы написали, это формула для Гауссовой кривизны в специальном случае, а не Теорема Гаусса.


Вы занимаетесь уже прямыми подлогами. Содержательное обсуждение с Вами неконструктивно.


Постройте Ваши координаты конкретно в ОДНОМ случае, и их проверим. Тогда станет видна ошибка.
Возьмите стандартные координаты на сфере (Почему-то для них не хотите!) или не на сфере, или нестандартные,
--
что угодно. Просчитайте ОДИН пример.
Хотите? Например
$du^2+u^2dv^2$
$du^2+ududv +3u^2dv^2$
Хоть что-нибудь.
А пока у Вас такая точка зрения-- там, где можно сосчитать, там Ваш 'алгоритм' дает неверный результат, а другие сосчитать Вам лень.

А пока что у Вас полное нагромождение нелепостей и безграмотности.

[evgeniy]

Вы опирались именно на эту формулу, когда говорили, что мой алгоритм не верен. По этой формуле получается, что в моих координатах гаусова кривизна равна нулю. Так вот я и показал, что эта формула к моему случаю не применима. И подлогами я не занимаюсь, я честно пытаюсь ВАм объяснить, что противоречия с теоремой Гаусса нет.
На счет алгоритма. Для построения алгоритма одной квадратичной формы не достаточно, надо иметь вторую квадратичную форму, или уравнение поверхности. Что я и сделал. Я взял уравнение сферы в преобразовании от декартовых координат к двум углам и показал, что дифференциальное уравнение по определению главных радиусов кривизны имеет не нулевую действительную часть. Далее все идет по накатанной схеме, начальные условия единственные, полный дифференциал сводится к функции одной переменной. Зависимости $s_1(v),s_2(u)$ справедливы по всей поверхности тела.
А вообще-то я заметил, как только автор проявляет не стандартное мышление и пишет не стандартные вещи, форум dxdy.ru говорит о его неграмотности и неумении мыслить. Так сказать привести все к известным фактам и известным теоремам. Новое встречается не пониманием и враждебностью. Не знаю, может быть это реакция на заполонивших форумы псевдоученых, но мне от этого не легче.