Хотя тема названа сферическая система координат, я говорю о ее недостатках, в частности о не периодичности угла

. поэтому построена другая периодическая система координат, с помощью которой я надеюсь построить периодическую ортогональную систему координат. Система не ортогональных периодических углов сводится к следующей



Но построенная по этим формулам система координат не имеет правильных знаков, поэтому ее надо преобразовать к виду



тогда она правильно описывает знаки декартовых координат. Углы определяются по формуле

, т.е. это вращение плоскости, для угла

, проходящей через ось

и угол определяется как угол, составляемый этой плоскостью с вертикальной плоскостью в сечении

.
Дифференциальное уравнение по определению направления сечений главных радиусов кривизны следующее

где имеем следующие формулы для коэффициентов



![$L=\frac{(\vec r_{uu}^{''},[\vec r_u^{'},\vec r_v^{'}])}{\sqrt{EG-F^2}}$ $L=\frac{(\vec r_{uu}^{''},[\vec r_u^{'},\vec r_v^{'}])}{\sqrt{EG-F^2}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/b/3fb896a85f278ab520b5762987b5911b82.png)
![$M=\frac{(\vec r_{uv}^{''},[\vec r_u^{'},\vec r_v^{'}])}{\sqrt{EG-F^2}}$ $M=\frac{(\vec r_{uv}^{''},[\vec r_u^{'},\vec r_v^{'}])}{\sqrt{EG-F^2}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/b/39b0b3923e3fa591da51067f8ded1a9d82.png)
![$L=\frac{(\vec r_{vv}^{''},[\vec r_u^{'},\vec r_v^{'}])}{\sqrt{EG-F^2}}$ $L=\frac{(\vec r_{vv}^{''},[\vec r_u^{'},\vec r_v^{'}])}{\sqrt{EG-F^2}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/9/3b9e9fac11b933503642ae1f9e1a84b182.png)
Из квадратичной формы (1), получаем дифференциальное уравнение


пРичем правые части этих дифференциальных ьуравнения не нулевые, как в ы утверждаете, а вполне реальные не нулевые функции. Условие ортогоналности g(u,v)=-h(u,v), отквуда получаем два независимых дифференциальных уравнения, одно из которых запишется в виде
![$\frac{du}{dv}=g[u(v),v]\eqno(2)$ $\frac{du}{dv}=g[u(v),v]\eqno(2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/5/5350f20dff6a613703aa3061236919f882.png)
причем единственные начальные условия для этих дифференциальных уравнений

. Если бы уравнения были второго порядка, то тогда была бы еще произвольная первая производная, и получалась бы семейство кривых, с разной первой производной. Но уравнения имеют первый порядок, поэтому имеется вполне определенная начальная точка. нЕльзя брать вторую начальную точку, так как это приведет к неоднозначности координат. Строим квадратичную форму, как я много раз описывал и имеем зависимость кривые

. Если взять две начальные точки, то не получится однозначной зависимости от координат. Но вообще то, дифференциальныое уравнение (2) имеет одно решение. Получаем не противоречивый результат построения квадратичной формы

, который не удовлетворяет условию теоремы Гаусса о кривизне, так как дифференциал можно представить в виде

.