Почему не отображают множество комплексных чисел на прямую?

[Time]

lavex в сообщении #433230 писал(а):

А вот это, на мой взгляд, не так пока в данном случае актуально, как попытка интерпретировать такие числа на плоскости как связанные вектора. Именно с этой инерпретацией хотелось бы повозиться в первую очередь...

Кто ж Вас ограничивает обычной интерпретацией бикомплексных чисел как точек и векторов четырехмерного финслерова пространства? Занимайтесь параллельно и второй интерпретацией в виде отрезков или связанных векторов. Просто не тратьте зря время и силы, ограничиваясь двухкомпонентными алгебрами.

[lavex]

Time в сообщении #433084 писал(а):

Для начала работы с бикомплексными числами
$C_2=x+iy+Iz+iIw$
вполне достаточно задания закона умножения базисных единиц, например, в "ортонормированном" базисе:
$i^2=-1; I^2=+1; (iI)^2=-1; iI=Ii.$
Вместо комплекса $(iI)$ можно использовать третий символ, например, $k$ и положить $k^2=-1$, но из-за коммутативности умножения можно третьей мнимой единицы и не вводить.

Так, попробуем выписать модуль:
$|C_2|=|x+iy+Iz+iIw|=$\sqrt{(x+iy+Iz+iIw)(x-iy-Iz-iIw)}=\sqrt{[(x+iy)+I(z+iw)][(x-iy)-I(z+iw)]}=\sqrt{(x^2+y^2)+(z+iw)^2}
В итоге имеем под корнем модуль комплексного числа в квадрате степени минус комплексное число в квадрате степени. Поэтому хотелось бы уточнить: нужно рассматривать три сопряжения по аналогии с квадрочислами? Сейчас я воспользовался кватернионной логикой...

[Time]

lavex в сообщении #435646 писал(а):

Поэтому хотелось бы уточнить: нужно рассматривать три сопряжения по аналогии с квадрочислами? Сейчас я воспользовался кватернионной логикой...

Кватернионам соответствует четырехмерное евклидово пространство с квадратичным типом метрики. А тут финслерова, связанная с четвертыми степенями от компонент. То есть, берите произведение не двух, а четырех сопряженных..

[lavex]

Time в сообщении #435695 писал(а):

То есть, берите произведение не двух, а четырех сопряженных..

Нет проблем, только хотелось бы уточнить - сопряжённые выглядят так же, как и в случае квадрочисел? То есть, вот так:
$C_2=x+iy+Iz+iIw=(x+iy)+I(z+iw)$;
$\bar{C_2}=x-iy+Iz-iIw=(x-iy)+I(z-iw)$;
$\check{C_2}=x+iy-Iz-iIw=(x+iy)-I(z+iw)$;
$\tilde{C_2}=x-iy-Iz+iIw=(x-iy)-I(z-iw)$.
Тогда их норма составит корень из квадропроизведения:
$|C_2|=(C_2\bar{C_2}\check{C_2}\tilde{C_2})^{1/4}=((C_2\tilde{C_2})(\bar{C_2}\check{C_2}))^{1/4}=[((x^2+y^2)-(z^2+w^2))^2]^{1/4}$
Откуда:
$|C_2|^4=x^4+y^4+z^4+w^4+2(x^2y^2-x^2z^2-x^2w^2-y^2z^2-y^2w^2+z^2w^2)$
Забавно, что если поменять знаки у первого и двух предпоследних слагаемых в скобках на противоположные, это выражение в точности бы соответствовало четвёртой степени элемента длины в пространстве Минковского Единственное, следовало бы уточнить, в каком базисе?

[Time]

lavex в сообщении #436531 писал(а):

Нет проблем, только хотелось бы уточнить - сопряжённые выглядят так же, как и в случае квадрочисел?

Вы сами это и уточнили. Раз в результате произведения такой четверки гиперкомплексных чисел получается действительное число, значит, со своей ролью сопряженных данная четверка справляется.

lavex в сообщении #436531 писал(а):

Забавно, что если поменять знаки у первого и двух предпоследних слагаемых в скобках на противоположные, это выражение в точности бы соответствовало четвёртой степени элемента длины в пространстве Минковского

С таким же результатом можно поменять знаки у трех слагаемых в выражении для квадрата интервала Минковского и констатировать, что при этом оно совпадает с выражением для квадрата четырехмерного евклидова пространства. Связи рассматриваемого пространства с пространством Минковского или евклидовым нет никакой. Если уж и сравнивать с каким-то из квадратичных пространств, то максимально близко к нему псевдоевклидово пространство с сигнатурой (+,+,-,-). Но мысленные перемены знаков тут совершенно не причем. Тут примерно такая же связь, что имеется между четырехмерным пространством Бервальда-Моора и пространством Минковского.

lavex в сообщении #436531 писал(а):

Единственное, следовало бы уточнить, в каком базисе?

Это Вы нашли выражение для модуля бикомплексного числа в базисе, являющемся финслеровым аналогом ортонормированного. Попробуйте теперь тоже самое сделать в изотропном базисе. А также, думаю, Вам будет интересно в "ортонормированном" базисе найти экспоненциальную форму представления бикомплексного числа и явные выражения для трех аргументов, фигурирующих в ней. Отсюда уже останется всего пара шагов до той формы представления, которая связывает бикомплексные числа и отрезки (вернее связанные вектора) на плоскости.

[lavex]

Time в сообщении #436545 писал(а):

С таким же результатом можно поменять знаки у трех слагаемых в выражении для квадрата интервала Минковского и констатировать, что при этом оно совпадает с выражением для квадрата четырехмерного евклидова пространства. Связи рассматриваемого пространства с пространством Минковского или евклидовым нет никакой.

С самим пространством Минковского - да, никакой. Но я писал о квадрате интервала, т. е. геометрии с метрикой четвёртой степени. Чтобы получить "правильные знаки", нужно чтобы модуль определялся следующим выражением:
$|C_2|^4=[(-x^2+y^2)+(z^2+w^2)]^2=x^4+y^4+z^4+w^4-2x^2y^2-2x^2z^2-2x^2w^2+2y^2z^2+2y^2w^2+2z^2w^2$
Есть подозрение, что его можно добиться соответствующим выбором образующих из алгебры бикомплексных чисел. Правда, базис при этом останется ортогональным, а не изотропным, поэтому пока никаких выводов отсюда делать не стоит

Time в сообщении #436545 писал(а):

Это Вы нашли выражение для модуля бикомплексного числа в базисе, являющемся финслеровым аналогом ортонормированного. Попробуйте теперь тоже самое сделать в изотропном базисе.

Теперь касательно изотропных векторов. Изложу процедуру поиска. Итак, для начала, по аналогии с двойными числами, берём биссектриссы положительных "октантов" (8 положительных и 8 отрицательных, в сумме - 16). Эти 8 биссектрисс оказываются "эллиптического" и "гиперболического" типа:
$k_1^e=1+i+I+iI, (k_1^e)^2=4i+4iI$; $k_1^h=1+i+I-iI, (k_1^h)^2=4I$;
$k_2^e=1-i+I-iI, (k_2^e)^2=-4i-4iI$; $k_2^h=1-i+I+iI, (k_1^h)^2=4I$;
$k_3^e=1+i-I-iI, (k_3^e)^2=4i-4iI$; $k_3^h=1+i-I+iI, (k_3^h)^2=-4I$;
$k_4^e=1-i-I+iI, (k_4^e)^2=-4i+4iI$; $k_4^h=1-i-I-iI, (k_4^h)^2=-4I$.
Далее всё просто, хотя пересчёт определённое время занял. Итак, изотропные вектора выражаются через биссектриссы следующим элементарным образом:
$e_1=\frac{k_1^e+k_2^e}{4}$; $e_2=\frac{k_3^e+k_4^e}{4}$;
$e_3=\frac{k_1^h+k_2^h}{4}$; $e_4=\frac{k_3^h+k_4^h}{4}$.
Легко убедиться, что так введённые изотропные векторы удовлетворяют основному свойству изотропии:
$e_je_le_me_n= \left\{\begin {array}{1} e_j, if [j=l=m=n],\\ 0, otherwise. \end {array}\right. $
Если я нигде выше не ошибся, что совершенно не исключено, выходит, что в изотропном базисе выражения, записанные в алгебре $C+C$ оказываются абсолютно аналогичными таковым в $H_4$, а всё различие, довольно значительное, кстати, проявляется в виде матрицы перехода и виде выражения в ортонормированном (трансверсальном) базисе. Ну и, понятно, что индикатрисса, будучи такой же 16-связной , имеет другой совершенно вид...

[Prorab]

Time,
убедительная просьба в дальнейшем воздерживаться от рекламы финслеровой геометрии в посторонних темах. Вы уже не первую тему уводите в любимую Вами сторону. Все обсуждения этого вопроса в дальнейшем ведите только в теме Вопрос по статье о финслеровых углах или в других, явно посвященных данному вопросу

[lavex]

Prorab в сообщении #437332 писал(а):

убедительная просьба в дальнейшем воздерживаться от рекламы финслеровой геометрии в посторонних темах.

Пока о финслеровой геометрии и речи не было. Речь шла о алгебраических вопросах и связанной с данными алгебрами интерпретациями. Слово "финслерова" тут можно и не употреблять . Если хотите, последние 6 сообщений можно выделить в отдельную тему "Бикомплексные числа". Но помилуйте, если такие поличисла оказываются жёстко связанными с метриками специального вида, называемыми "не рекомендуемым словом", так значит их и обсуждать уже нельзя?

[Time]

Не кипятитесь, lavex
Мы спокойно можем перенести обсуждение из всех тем в одну. Пусть это будет тема про финслеровы углы. Там Вам и отвечу. В Ваших последних выкладках есть ошибки, вечером постараюсь показать где..