2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Интегрирующая RC-цепь. Несколько вопросов. Время $\tau=RC$
Сообщение20.04.2011, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
profrotter в сообщении #436828 писал(а):
В другой системе обозначений сам коэффициент передачи обозначается как $K(j\omega)$, а его модуль $K(\omega)$.

Вроде бы, это неверно. Если в дробно-рациональную функцию подставить вместо $j\omega$ $\omega,$ должен получиться не модуль, а в общем случае какое-то совершенно не связанное с модулем значение. Например, $\omega+1\ne\lvert j\omega+1\rvert=\sqrt{\omega^2+1^2}.$

И ещё:
    Bars в сообщении #435966 писал(а):
    Может быть, напряжение должно уменьшаться в $e$ раз?

    мат-ламер в сообщении #435988 писал(а):
    Мне тоже вспоминается, что именно в $e$ раз.

    profrotter в сообщении #436111 писал(а):
    Постоянная времени (время релаксации) характеризует затухание собственных процессов в цепи - это интервал времени, в течении которого характеристика (напряжение или ток) собственного процесса уменьшается в $e$ раз.

    Евгений Машеров в сообщении #436271 писал(а):
    1. "Тау" - время, за которое единичный импульс угаснет в е раз (или - до 37% исходного).
Всё это верно только для цепей первого порядка (где числитель и знаменатель $K$ ограничены только первой степенью). В цепях высших порядков столь буквального смысла у постоянной времени нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирующая RC-цепь. Несколько вопросов. Время $\tau=RC$
Сообщение20.04.2011, 16:14 
Аватара пользователя


27/01/09
814
Уфа
Munin в сообщении #436995 писал(а):
Всё это верно только для цепей первого порядка (где числитель и знаменатель $K$ ограничены только первой степенью). В цепях высших порядков столь буквального смысла у постоянной времени нет.
У звеньев второго порядка тоже есть постоянная времени, а передаточную функцию (линейной системы) любого порядка можно представить в виде соединения элементарных звеньев вплоть до второго порядка. Постоянные времени связаны с частотами сопряжения ассимптот ЛАЧХ. Сколько элементарных звеньев соединяется (кроме пропорционального, идеальных дифференцирующего и интегрирующего), столько изломов будет у ЛАЧХ. Для идеальных дифференцирующего и интегрирующего постоянные времени связаны с частотами среза или пересечением ассимптотой горизонтальной оси на ЛАЧХ, а на переходной функции это пересечение касательной в начальный момент (или в любой другой момент времени - свойство показательной функции) времени с горизонтальной ассимптотой. Постоянные времени связаны с собственными частотами системы, или с корнями дробно-рациональной функции (полюсами, нулями). Как-то так, уточнить надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирующая RC-цепь. Несколько вопросов. Время $\tau=RC$
Сообщение20.04.2011, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Chifu в сообщении #437014 писал(а):
У звеньев второго порядка тоже есть постоянная времени

Вот именно. И не одна. А вот спадания велчины в $e$ раз за эту постоянную времени - нет.

Так что, постоянная времени в общем случае - это некая математическая характеристика, напрямую на графике переходного процесса не видная. Зато напрямую видная в формуле, она входит в показатели экспонент в выражениях $t/\tau_i.$ Если формулы в явном виде не задано, их можно вытащить через асимптоты, возможно, в общем случае на комплексной плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирующая RC-цепь. Несколько вопросов. Время $\tau=RC$
Сообщение20.04.2011, 17:54 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Munin в сообщении #436995 писал(а):
Вроде бы, это неверно. Если в дробно-рациональную функцию подставить вместо должен получиться не модуль, а в общем случае какое-то совершенно не связанное с модулем значение. Например,

А там ничего никуда подставлять не надо. Просто такая система обозначений. Написали $K(j\omega)$ значит комплексная частотная характеристика. Написали $K(\omega)$ значит амплитудно-частотная характеристика. Просто чтобы не таскать за собой модуль. Лично я поступаю проще: $K(\omega)$ - КЧХ,
$|K(\omega)|$ - АЧХ в виду того, что точки над симоволами как правило теряются и в письменном и в печатном тексте, а $K(j\omega)$ мне не нравится.

О постоянной времени. Вопрос был о постянной времени CR-цепи -- цепи первого порядка. Что касается произвольного вида цепи, то цепь чётного порядка может быть представлена в виде последовательного соединения звеньев второго порядка, а цепь нечётного порядка в виде последовательного соединения звеньев второго порядка и одного звена первого. Возможны, конечно, варианты.

Собственные процессы цепи второго порядка описываются ОДУ второго порядка. Если корни соответствующего характеристического уравнения действительны и различны, то собственный процесс является суперпозицией двух экспоненциально-затухащих процессов, каждому из которых может быть приписана постоянная времени, характеризующая затухание в е раз. Если корни характеристческого уравнения комплексно-сопряжённые, то собственный процесс будет описываться функцией вида $e^{-t/\tau}cos(\omega_0t+\varphi)$, постоянная времени опять же будет характеризовать затухание собственного процесса (его огибающей). Если характеристическое уравнение имеет один корень второй кратности, то собственный процесс описывается функцией вида $te^{-t/\tau}$. В последнем случае $\tau$ всё же характеризует затухание собственного процесса правда ассимптотически - то есть начиная с некоторого момента времени можно считать, что за время равное $\tau$ характеристика процесса убывает в е раз.

Увидеть постоянную времени на графике переходного процесса,при условии, что затухание собственных процессов описывается функцией $e^{-t/\tau}$, не просто, а очень просто: надо в момент времени $t=0$ построить касательную к графику и эта касательная пересечёт ассимптоту аккурат в момент времени $t=\tau$
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирующая RC-цепь. Несколько вопросов. Время $\tau=RC$
Сообщение20.04.2011, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
profrotter в сообщении #437053 писал(а):
А там ничего никуда подставлять не надо. Просто такая система обозначений.

Значит, неудачная, некорректная система обозначений, приводящая к ошибкам. Другая лучше.

За рассказ о постоянных времени спасибо, надеюсь, он топикстартеру поможет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group