Интегрирующая RC-цепь. Несколько вопросов. Время $\tau=RC$

[Munin]

profrotter в сообщении #436828 писал(а):

В другой системе обозначений сам коэффициент передачи обозначается как $K(j\omega)$, а его модуль $K(\omega)$.

Вроде бы, это неверно. Если в дробно-рациональную функцию подставить вместо $j\omega$ $\omega,$ должен получиться не модуль, а в общем случае какое-то совершенно не связанное с модулем значение. Например, $\omega+1\ne\lvert j\omega+1\rvert=\sqrt{\omega^2+1^2}.$

И ещё:

Bars в сообщении #435966 писал(а):

Может быть, напряжение должно уменьшаться в $e$ раз?



мат-ламер в сообщении #435988 писал(а):

Мне тоже вспоминается, что именно в $e$ раз.



profrotter в сообщении #436111 писал(а):

Постоянная времени (время релаксации) характеризует затухание собственных процессов в цепи - это интервал времени, в течении которого характеристика (напряжение или ток) собственного процесса уменьшается в $e$ раз.



Евгений Машеров в сообщении #436271 писал(а):

1. "Тау" - время, за которое единичный импульс угаснет в е раз (или - до 37% исходного).

Всё это верно только для цепей первого порядка (где числитель и знаменатель $K$ ограничены только первой степенью). В цепях высших порядков столь буквального смысла у постоянной времени нет.

[Chifu]

Munin в сообщении #436995 писал(а):

Всё это верно только для цепей первого порядка (где числитель и знаменатель $K$ ограничены только первой степенью). В цепях высших порядков столь буквального смысла у постоянной времени нет.

У звеньев второго порядка тоже есть постоянная времени, а передаточную функцию (линейной системы) любого порядка можно представить в виде соединения элементарных звеньев вплоть до второго порядка. Постоянные времени связаны с частотами сопряжения ассимптот ЛАЧХ. Сколько элементарных звеньев соединяется (кроме пропорционального, идеальных дифференцирующего и интегрирующего), столько изломов будет у ЛАЧХ. Для идеальных дифференцирующего и интегрирующего постоянные времени связаны с частотами среза или пересечением ассимптотой горизонтальной оси на ЛАЧХ, а на переходной функции это пересечение касательной в начальный момент (или в любой другой момент времени - свойство показательной функции) времени с горизонтальной ассимптотой. Постоянные времени связаны с собственными частотами системы, или с корнями дробно-рациональной функции (полюсами, нулями). Как-то так, уточнить надо.

[Munin]

Chifu в сообщении #437014 писал(а):

У звеньев второго порядка тоже есть постоянная времени

Вот именно. И не одна. А вот спадания велчины в $e$ раз за эту постоянную времени - нет.

Так что, постоянная времени в общем случае - это некая математическая характеристика, напрямую на графике переходного процесса не видная. Зато напрямую видная в формуле, она входит в показатели экспонент в выражениях $t/\tau_i.$ Если формулы в явном виде не задано, их можно вытащить через асимптоты, возможно, в общем случае на комплексной плоскости.

[profrotter]

Munin в сообщении #436995 писал(а):

Вроде бы, это неверно. Если в дробно-рациональную функцию подставить вместо должен получиться не модуль, а в общем случае какое-то совершенно не связанное с модулем значение. Например,

А там ничего никуда подставлять не надо. Просто такая система обозначений. Написали $K(j\omega)$ значит комплексная частотная характеристика. Написали $K(\omega)$ значит амплитудно-частотная характеристика. Просто чтобы не таскать за собой модуль. Лично я поступаю проще: $K(\omega)$ - КЧХ,
$|K(\omega)|$ - АЧХ в виду того, что точки над симоволами как правило теряются и в письменном и в печатном тексте, а $K(j\omega)$ мне не нравится.

О постоянной времени. Вопрос был о постянной времени CR-цепи -- цепи первого порядка. Что касается произвольного вида цепи, то цепь чётного порядка может быть представлена в виде последовательного соединения звеньев второго порядка, а цепь нечётного порядка в виде последовательного соединения звеньев второго порядка и одного звена первого. Возможны, конечно, варианты.

Собственные процессы цепи второго порядка описываются ОДУ второго порядка. Если корни соответствующего характеристического уравнения действительны и различны, то собственный процесс является суперпозицией двух экспоненциально-затухащих процессов, каждому из которых может быть приписана постоянная времени, характеризующая затухание в е раз. Если корни характеристческого уравнения комплексно-сопряжённые, то собственный процесс будет описываться функцией вида $e^{-t/\tau}cos(\omega_0t+\varphi)$, постоянная времени опять же будет характеризовать затухание собственного процесса (его огибающей). Если характеристическое уравнение имеет один корень второй кратности, то собственный процесс описывается функцией вида $te^{-t/\tau}$. В последнем случае $\tau$ всё же характеризует затухание собственного процесса правда ассимптотически - то есть начиная с некоторого момента времени можно считать, что за время равное $\tau$ характеристика процесса убывает в е раз.

Увидеть постоянную времени на графике переходного процесса,при условии, что затухание собственных процессов описывается функцией $e^{-t/\tau}$, не просто, а очень просто: надо в момент времени $t=0$ построить касательную к графику и эта касательная пересечёт ассимптоту аккурат в момент времени $t=\tau$

[Munin]

profrotter в сообщении #437053 писал(а):

А там ничего никуда подставлять не надо. Просто такая система обозначений.

Значит, неудачная, некорректная система обозначений, приводящая к ошибкам. Другая лучше.

За рассказ о постоянных времени спасибо, надеюсь, он топикстартеру поможет.