Интегрирующая RC-цепь. Несколько вопросов. Время $\tau=RC$

[Bars]

Хочу задать несколько совершенно разных вопросов по своей лабораторной.

Вот дифференцирующая RC-цепь

$$\xymatrix{ \ar@{-}[r]^C & \ar@{-}[r] \ar@{-}[d]^R & \ar@{}[d]^{U_{out}} \\ \ar@{}[u]^{U_{in}} \ar@{-}[r] & \ar@{-}[r] & } $$

1. Есть какая-то величина $\tau=RC$. То, что её единица измерения - секунда, я понял. Но хотелось бы ещё понять, если это время, то время чего? То есть, услышать определение типа "это время, за которое происходит такое-то событие".
2. Откуда берётся формула для "коэффициента передачи делителя напряжения со стационарными сопротивлениями $R$ и $X_C = 1/ \omega C$ "
   
   $$\dot{K} = \frac R {R + \frac 1 {j \omega C}}$$
   ? И что здесь должны означать символы $K$ и $j$?
3. Что такое условия дифференцирования и интегрирования?

Извините за не очень корректные вопросы. Я совсем не разбираюсь в теме.

[мат-ламер]

1. Подайте на вход постоянное напряжение $v$, начиная с $t=0$ (функция Хевисайда или ступенька). Вначале напряжение на выходе будет $v$, а затем будет уменьшатся, и в момент $t=RC$ будет составлять определённый процент (точно не помню) от начального.
2. Формула для передаточной функции цепи $K$ выводится исходя из закона ома. $j$ - мнимая единица.
3. Вопрос не понял. Может поясните?

[Bars]

По поводу условий дифференцирования и интегрирования я понял. Это такие условия, которым должны удовлетворять параметры дифф. (или интегр.) цепи, чтобы эта цепь дифференцировала (или интегрировала) сигнал. Соответственно, условие дифференцирования $\frac{du}{dt} \ll \frac u \tau$, а условие интегрирования - наоборот $\frac{du}{dt} \gg \frac u \tau$.

А про $\tau$... Может быть, напряжение должно уменьшаться в $e$ раз? То есть $v(t) = e v(t+\tau)$? (Предположение)

[мат-ламер]

Мне тоже вспоминается, что именно в $e$ раз. Можете проверить вычислением. Передаточная функция показывает реакцию цепи на дельта-функцию Дирака. А реакцию на функцию Хевисайда можно подсчитать с помощью интеграла Дюамеля.

[Chifu]

Читайте методичку и не парьте себе мозги, там всё написано.
Тау - постоянная времени, характеризует динамические свойства звена.
К - коэфициент передачи звена (передаточная функция), отношение (напряжения) выхода ко входу.
Условия связывают максимальную частоту сигнала с постоянной времени.

[profrotter]

Bars в сообщении #435840 писал(а):

Есть какая-то величина $\tau=RC$. То, что её единица измерения - секунда, я понял. Но хотелось бы ещё понять, если это время, то время чего? То есть, услышать определение типа "это время, за которое происходит такое-то событие".

Постоянная времени (время релаксации) характеризует затухание собственных процессов в цепи - это интервал времени, в течении которого характеристика (напряжение или ток) собственного процесса уменьшается в $e$ раз. Собственный процесс в линейной цепи описывается соответствующим ей однородным дифференциальным уравнением. Собственные процессы в цепи всегда сопровождают её переход из одного стационарного режима в другой - переходый процесс. Приближённо считается, что за время $(3-5)\tau$ собственный процесс в цепи прекращается.

Bars в сообщении #435840 писал(а):

Откуда берётся формула для "коэффициента передачи делителя напряжения со стационарными сопротивлениями $R$ и $X_C = 1/ \omega C$ "

$$\dot{K} = \frac R {R + \frac 1 {j \omega C}}$$

? И что здесь должны означать символы $K$ и $j$?

$\dot{K}=\dot{K}(\omega)$ - это и есть коэффициент передачи по напряжению (иначе - комплексная частотная характеристика цепи) - это отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала на выходе цепи к комплексной амплитуде гармонического сигнала на входе. Коэффициент передачи определяется в стационарном режиме цепи при гармоническом воздействии.
В общем случае схема делителя напряжения имеет вид:

Для единственного контура цепи запишем:

$$\dot{U}_1+\dot{I}z_1+\dot{I}z_2=0,$$

откуда

$$\dot{U}_1=-\dot{I}(z_1+z_2).$$

Напряжение на выходе - это напряжение на комплексном сопротивлении $z_2$, через которое протекает ток $\dot{I}$, то есть:

$$\dot{U}_2=-\dot{I}z_2.$$

Коэффициент передачи по напряжению:

$$\dot{K}(\omega)=\frac {\dot{U}_2} {\dot{U}_1}=\frac {z_2} {z_1+z_2}.$$

В случае $CR$ - цепи $z_1=\frac {1} {j\omega C},z_2=R$ и для коэффициента передачи получим

$$\dot{K}(\omega)=\frac {j\omega\tau} {1+j\omega\tau}.$$

[Евгений Машеров]

1. "Тау" - время, за которое единичный импульс угаснет в е раз (или - до 37% исходного).
2. j - принятое в электротехнических расчётах обозначение мнимой единицы. Оно предпочитается более употребительному в математике вообще i, чтобы не исключить путаницу с током, который традиционно i или I.
3. Четырёхполюсник может работать, как дифференцирующая или интегрирующая входной сигнал цепь.

[мат-ламер]

Ещё встречал такой термин "частотный коэффициент передачи". Вопрос - этот коэффициент является функцией, но вот от какого аргумента? (Предполагаем, что параметры отдельных элементов цепи - сопротивления, ёмкости фиксированы). У profrotter это функция от (угловой) частоты $\omega$. Однако в учебнике Баксакова наткнулся на обозначения (без пояснений), которое поначалу поставило меня в тупик ( $K(j\omega )=...)$.

[Chifu]

мат-ламер в сообщении #436787 писал(а):

Ещё встречал такой термин "частотный коэффициент передачи".Вопрос - этот коэффициент является функцией, но вот от какого аргумента? (Предполагаем, что параметры отдельных элементов цепи - сопротивления, ёмкости фиксированы).

Если коэффициент частотный то само собой от частоты зависит. :)

Цитата:

У profrotter это функция от (угловой) частоты $\omega$. Однако в учебнике Баксакова наткнулся на обозначения (без пояснений), которое поначалу поставило меня в тупик ( $K(j\omega )=...)$.

Это комплексное представление (на комплексной плоскости) частотного рассмотрения цепей.

[мат-ламер]

Цитата:

Если коэффициент частотный то само собой от частоты зависит. :)

По Баксакову это функция комплексного (точнее чисто мнимого) аргумента. Частота - действительное число.

Цитата:

Это комплексное представление (на комплексной плоскости) частотного рассмотрения цепей.

Фразу не понял. Может имелось в виду, что у функции могут быть разные представления?
Вообще, запись по Баксакову так же абсурдна, как если бы я написал - рассмотрим функцию $f(x^2+1)=x^4+2x^2+1$.

-- Вт апр 19, 2011 21:47:35 --

Впрочем, почему абсурдна? Я же могу написать - рассмотрим функцию на $R$, которая удовлетворяет условию $f(x^2+1)=...$. Поэтому для частотного коэффициента передачи я могу сказать - рассмотрим функцию, заданную на мнимой оси комплексной плоскости, которая удовлетворяет условиям $K(j\omega )=...$. Затем можно аналитически продолжить эту функцию на всю комплексную плоскость и рассмотреть передаточную функцию $K(p)$.

[Chifu]

мат-ламер в сообщении #436801 писал(а):

По Баксакову это функция комплексного (точнее чисто мнимого) аргумента. Частота - действительное число.

Рассматривают по отдельности амплитуду и фазу в зависимости от частоты. Это не чисто мнимая часть, а комплексное представление. Прими, что есть комплексное представление (на комплексной плоскости), и рассматривай дальше, обоснование введения комплексного представления слишком сложное и ненужное.

Цитата:

Фразу не понял. Может имелось в виду, что у функции могут быть разные представления?

Вот именно.

Цитата:

Вообще, запись по Баксакову так же абсурдна, как если бы я написал - рассмотрим функцию $f(x^2+1)=x^4+2x^2+1$.

Запись в учебнике не может быть абсурдной, таким может быть ваше понимание.

[profrotter]

мат-ламер в сообщении #436787 писал(а):

Ещё встречал такой термин "частотный коэффициент передачи". Вопрос - этот коэффициент является функцией, но вот от какого аргумента? (Предполагаем, что параметры отдельных элементов цепи - сопротивления, ёмкости фиксированы). У profrotter это функция от (угловой) частоты $\omega$. Однако в учебнике Баксакова наткнулся на обозначения (без пояснений), которое поначалу поставило меня в тупик ( $K(j\omega )=...)$.

Есть две системы обозначений. Первая предполагает комплексный коэффициент передачи обозначать как $\dot{K}(\omega)$, при этом его модуль $K(\omega)$. В другой системе обозначений сам коэффициент передачи обозначается как $K(j\omega)$, а его модуль $K(\omega)$. В общем случае коэффициент передачи (комплексная частотная характеристика) физически-реализуемой линейной цепи с постоянными параметрами порядка $n$ может быть представлен в виде отношения двух многочленов от $j\omega$:

$$K(j\omega)=\frac {b_n(j\omega)^n+b_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+b_0} {a_n(j\omega)^n+a_{n-1}(j\omega)^{n-1}+...+a_0}.$$

Частично этот факт и подчёркивается в обозначении $K(j\omega)$.

Передаточной функцией цепи $K(p)$ называют отношение изображения Лапласа сигнала на выходе цепи к изображению сигнала на входе.

$$K(p)=\frac {b_np^n+b_{n-1}p^{n-1}+...+b_0} {a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}+...+a_0}.$$

Комплексная частотная характеристика (КЧХ) и передаточная функция (ПФ) между собой связаны: выражение для КЧХ получается из выражения для ПФ путём замены $p=j\omega$, отсюда снова $K(j\omega)=K(p)|_{p=j\omega}$ - обозначение подчёркивает связь двух характеристик.

Реакция цепи на дельта-импульс называется импульсной характеристикой (иногда импульсным откликом).

Реакция цепи на единичный скачок (воздействие описываемое функцией Хевисайда) называется переходной характеристикой.

Передаточная функция, импульсная и переходная характеристики определяются при нулевых начальных условиях.

[Chifu]

мат-ламер в сообщении #436801 писал(а):

Поэтому для частотного коэффициента передачи я могу сказать - рассмотрим функцию, заданную на мнимой оси комплексной плоскости, которая удовлетворяет условиям $K(j\omega )=...$. Затем можно аналитически продолжить эту функцию на всю комплексную плоскость и рассмотреть передаточную функцию $K(p)$.

Читай учебник, а не придумывай велосипед. Передаточная функция $K(p)$ это операторное представление (частотного коэффициента передачи).

[мат-ламер]

profrotter. Спасибо конечно, что Вы написали. Я это всё знаю. У меня был единственный вопрос - функцией какого аргумента является частотный коэффициент передачи? Остальное всё понятно. Баксаков вначале определяет $K$ как число - а именно как собственное значение системного оператора. Затем сразу говорит о функции $K(j\omega )$ (без всяких пояснений). И как понимать такую запись? Для себя решил, что $K$ задаётся на мнимой оси, что собственно подтвердилось через несколько страниц. А аргумент можно и не определять.

-- Вт апр 19, 2011 23:28:52 --

Если кто-то считает, что ему всё понятно, и аргумент у коэффициента передачи $K$ - частота $\omega$, пусть возьмёт простейшую цепь (типа как в начале ветки), задаст в ней параметры (ёмкость, индуктивность) и попытается ответить на вопрос - чему равно $K(10)$. Если это удалось, то пусть вычислит $K(10j)$. Если и это удалось, то пусть напишет, как это у него получилось. Будет интересно почитать.

[Chifu]

мат-ламер в сообщении #436848 писал(а):

Баксаков вначале определяет $K$ как число - а именно как собственное значение системного оператора. Затем сразу говорит о функции $K(j\omega )$ (без всяких пояснений). И как понимать такую запись? Для себя решил, что $K$ задаётся на мнимой оси, что собственно подтвердилось через несколько страниц. А аргумент можно и не определять.

Собственные функции, собственные векторы и собственные значения операторов это понятия из математического анализа. Это относится к обоснованию введения частотного рассмотрения в комплексной форме. Вам нужно изучить применение этого математического аппарата в теории цепей, т.е. предметную область а не обоснование применения этого математического аппарата.
К(p) или K(jw) это оператор, который зависит от частоты (в линейных системах частота не преобразуется и соблюдается принцип суперпозиции) и преобразует амплитуду (действительная ось) и фазу (отсюда мнимая ось) гармонического сигнала. jw потому что входной сигнал представляется в виде u(t)=exp(jwt), т.е. из временной области переходят к рассмотрению в частотной области.