Игра с квадратными уравнениями

[Xenia1996]

В ночном клубе "Absolute Infinite Plus 2" двое играют на одевание.
Первый игрок выбирает два различных ненулевых целых числа $n$ и $m$.
Второй игрок составляет квадратное уравнение с коэффициентами $n, m, 2010$ (в том порядке, в котором пожелает).
Если уравнение имеет два различных рациональных корня, побеждает первый игрок, в противном случае - второй.
Кто выигрывает при правильной игре и как он должен для этого играть?

[Null]

1005 и -3015 называем и выигрываем.

[Bulinator]

Null, и что?
Я составлю уравнение $3015x^2+1005x+2010=0$, которое не то что рациональных, даже вещественных корней не имеет.

[Null]

А "-" куда делся без него второй выигрывает всегда.

[Bulinator]

Смысл в том, что первый игрок должен назвать 2 числа таким образом, что всевозможные дискриминанты
$m^2-4n 2010$
$n^2-4m 2010$
$2010^2-4n m$
были квадратами какого-то числа.
Либо нужно доказать, что для любой пары $m,n$, хотя бы один из детерминантов не является таковым.

-- Вт апр 19, 2011 20:37:20 --

Понял. Вопрос снят.

[Xenia1996]

Вот ещё три идеи, две из них - мои:

http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=30158

[nnosipov]

А мне придумалась такая задача: найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых оба числа $x^2+8y$ и $y^2-8x$ --- точные квадраты. Прошу решить.

Такое ощущение, что в Вашей игре можно перечислить все пары $(m,n)$ выигрышных чисел.

[w0robey]

Пока нашёл пару (1;3)...

[nnosipov]

w0robey в сообщении #436837 писал(а):

Пока нашёл пару (1;3)...

Неплохо для начала. Попробуйте найти ещё, а потом догадайтесь. И докажите, наконец.

[w0robey]

У меня складывается такое клиническое подозрение, что $y=2x+1$... подтверждается обыкновенной подстановкой и раскрытием скобок во втором уравнении... только нужно доказать единственность (или неединственность) представления y
Далее подставим это представление в первое уравнение, получим что-то в стиле $x^2+16x+8$. Т. к. это квадрат числа, то его можно представить как (x+n)^2. Раскрываем скобки, выражаем... в общем завтра додумаю, трафик кончается)))

[nnosipov]

w0robey в сообщении #436867 писал(а):

У меня складывается такое клиническое подозрение, что $y=2x+1$... подтверждается обыкновенной подстановкой и раскрытием скобок во втором уравнении... только нужно доказать единственность (или неединственность) представления y
Далее подставим это представление в первое уравнение, получим что-то в стиле $x^2+16x+8$. Т. к. это квадрат числа, то его можно представить как (x+n)^2. Раскрываем скобки, выражаем... в общем завтра додумаю, трафик кончается)))

Наверное, Вы хотели написать $y=x+2$.

[age]

nnosipov в сообщении #436832 писал(а):

Такое ощущение, что в Вашей игре можно перечислить все пары $(m,n)$ выигрышных чисел.

Зачем перечислить, когда есть точная система уравнений, которая точно решается. Можно доказать, что данные решения не являются частными, т.е. их бесконечно много.

[neo66]

nnosipov в сообщении #436832 писал(а):

А мне придумалась такая задача: найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых оба числа $x^2+8y$ и $y^2-8x$ --- точные квадраты. Прошу решить.

Кроме $y=x+2$ там еще куча всего, например $x=45, y=23$.

[age]

Одно из решений:
$\begin{cases} n=p-2q\\ m=p+q+1\\ k=q-2p-1 \end{cases}$
Для случая Ксении, $k=2010$, $q=2011-2p$.

[RIP]

(Оффтоп)

neo66 в сообщении #436886 писал(а):

nnosipov в сообщении #436832 писал(а):

А мне придумалась такая задача: найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых оба числа $x^2+8y$ и $y^2-8x$ --- точные квадраты. Прошу решить.

Кроме $y=x+2$ там еще куча всего, например $x=45, y=23$.

Ну, "куча" --- это слишком громко. Кроме (x,x+2), только 3 решения: (7,15), (33,17), (45,23).