2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 17:45 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
В ночном клубе "Absolute Infinite Plus 2" двое играют на одевание.
Первый игрок выбирает два различных ненулевых целых числа $n$ и $m$.
Второй игрок составляет квадратное уравнение с коэффициентами $n, m, 2010$ (в том порядке, в котором пожелает).
Если уравнение имеет два различных рациональных корня, побеждает первый игрок, в противном случае - второй.
Кто выигрывает при правильной игре и как он должен для этого играть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 18:24 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
1005 и -3015 называем и выигрываем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Null, и что?
Я составлю уравнение $3015x^2+1005x+2010=0$, которое не то что рациональных, даже вещественных корней не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 18:34 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
А "-" куда делся без него второй выигрывает всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Смысл в том, что первый игрок должен назвать 2 числа таким образом, что всевозможные дискриминанты
$m^2-4n 2010$
$n^2-4m 2010$
$2010^2-4n m$
были квадратами какого-то числа.
Либо нужно доказать, что для любой пары $m,n$, хотя бы один из детерминантов не является таковым.

-- Вт апр 19, 2011 20:37:20 --

Понял. Вопрос снят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 20:36 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Вот ещё три идеи, две из них - мои:

http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=30158

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 21:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
А мне придумалась такая задача: найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых оба числа $x^2+8y$ и $y^2-8x$ --- точные квадраты. Прошу решить.

Такое ощущение, что в Вашей игре можно перечислить все пары $(m,n)$ выигрышных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 21:37 


14/04/11
33
Пока нашёл пару (1;3)...

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 21:55 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
w0robey в сообщении #436837 писал(а):
Пока нашёл пару (1;3)...


Неплохо для начала. Попробуйте найти ещё, а потом догадайтесь. И докажите, наконец.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 22:38 


14/04/11
33
У меня складывается такое клиническое подозрение, что $y=2x+1$... подтверждается обыкновенной подстановкой и раскрытием скобок во втором уравнении... только нужно доказать единственность (или неединственность) представления y
Далее подставим это представление в первое уравнение, получим что-то в стиле $x^2+16x+8$. Т. к. это квадрат числа, то его можно представить как (x+n)^2. Раскрываем скобки, выражаем... в общем завтра додумаю, трафик кончается)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 22:41 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
w0robey в сообщении #436867 писал(а):
У меня складывается такое клиническое подозрение, что $y=2x+1$... подтверждается обыкновенной подстановкой и раскрытием скобок во втором уравнении... только нужно доказать единственность (или неединственность) представления y
Далее подставим это представление в первое уравнение, получим что-то в стиле $x^2+16x+8$. Т. к. это квадрат числа, то его можно представить как (x+n)^2. Раскрываем скобки, выражаем... в общем завтра додумаю, трафик кончается)))


Наверное, Вы хотели написать $y=x+2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 23:19 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov в сообщении #436832 писал(а):
Такое ощущение, что в Вашей игре можно перечислить все пары $(m,n)$ выигрышных чисел.
Зачем перечислить, когда есть точная система уравнений, которая точно решается. Можно доказать, что данные решения не являются частными, т.е. их бесконечно много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение20.04.2011, 00:29 
Заслуженный участник


14/01/07
787
nnosipov в сообщении #436832 писал(а):
А мне придумалась такая задача: найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых оба числа $x^2+8y$ и $y^2-8x$ --- точные квадраты. Прошу решить.
Кроме $y=x+2$ там еще куча всего, например $x=45, y=23$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение20.04.2011, 01:35 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Одно из решений:
$\begin{cases}
n=p-2q\\
m=p+q+1\\
k=q-2p-1
\end{cases}$
Для случая Ксении, $k=2010$, $q=2011-2p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение20.04.2011, 02:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822

(Оффтоп)

neo66 в сообщении #436886 писал(а):
nnosipov в сообщении #436832 писал(а):
А мне придумалась такая задача: найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых оба числа $x^2+8y$ и $y^2-8x$ --- точные квадраты. Прошу решить.
Кроме $y=x+2$ там еще куча всего, например $x=45, y=23$.
Ну, "куча" --- это слишком громко. Кроме (x,x+2), только 3 решения: (7,15), (33,17), (45,23).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group