2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 17:45 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
В ночном клубе "Absolute Infinite Plus 2" двое играют на одевание.
Первый игрок выбирает два различных ненулевых целых числа $n$ и $m$.
Второй игрок составляет квадратное уравнение с коэффициентами $n, m, 2010$ (в том порядке, в котором пожелает).
Если уравнение имеет два различных рациональных корня, побеждает первый игрок, в противном случае - второй.
Кто выигрывает при правильной игре и как он должен для этого играть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 18:24 
Заслуженный участник


12/08/10
1130
1005 и -3015 называем и выигрываем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Null, и что?
Я составлю уравнение $3015x^2+1005x+2010=0$, которое не то что рациональных, даже вещественных корней не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 18:34 
Заслуженный участник


12/08/10
1130
А "-" куда делся без него второй выигрывает всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Смысл в том, что первый игрок должен назвать 2 числа таким образом, что всевозможные дискриминанты
$m^2-4n 2010$
$n^2-4m 2010$
$2010^2-4n m$
были квадратами какого-то числа.
Либо нужно доказать, что для любой пары $m,n$, хотя бы один из детерминантов не является таковым.

-- Вт апр 19, 2011 20:37:20 --

Понял. Вопрос снят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 20:36 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Вот ещё три идеи, две из них - мои:

http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=30158

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 21:26 
Заслуженный участник


20/12/10
7308
А мне придумалась такая задача: найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых оба числа $x^2+8y$ и $y^2-8x$ --- точные квадраты. Прошу решить.

Такое ощущение, что в Вашей игре можно перечислить все пары $(m,n)$ выигрышных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 21:37 


14/04/11
33
Пока нашёл пару (1;3)...

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 21:55 
Заслуженный участник


20/12/10
7308
w0robey в сообщении #436837 писал(а):
Пока нашёл пару (1;3)...


Неплохо для начала. Попробуйте найти ещё, а потом догадайтесь. И докажите, наконец.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 22:38 


14/04/11
33
У меня складывается такое клиническое подозрение, что $y=2x+1$... подтверждается обыкновенной подстановкой и раскрытием скобок во втором уравнении... только нужно доказать единственность (или неединственность) представления y
Далее подставим это представление в первое уравнение, получим что-то в стиле $x^2+16x+8$. Т. к. это квадрат числа, то его можно представить как (x+n)^2. Раскрываем скобки, выражаем... в общем завтра додумаю, трафик кончается)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 22:41 
Заслуженный участник


20/12/10
7308
w0robey в сообщении #436867 писал(а):
У меня складывается такое клиническое подозрение, что $y=2x+1$... подтверждается обыкновенной подстановкой и раскрытием скобок во втором уравнении... только нужно доказать единственность (или неединственность) представления y
Далее подставим это представление в первое уравнение, получим что-то в стиле $x^2+16x+8$. Т. к. это квадрат числа, то его можно представить как (x+n)^2. Раскрываем скобки, выражаем... в общем завтра додумаю, трафик кончается)))


Наверное, Вы хотели написать $y=x+2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение19.04.2011, 23:19 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov в сообщении #436832 писал(а):
Такое ощущение, что в Вашей игре можно перечислить все пары $(m,n)$ выигрышных чисел.
Зачем перечислить, когда есть точная система уравнений, которая точно решается. Можно доказать, что данные решения не являются частными, т.е. их бесконечно много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение20.04.2011, 00:29 
Заслуженный участник


14/01/07
787
nnosipov в сообщении #436832 писал(а):
А мне придумалась такая задача: найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых оба числа $x^2+8y$ и $y^2-8x$ --- точные квадраты. Прошу решить.
Кроме $y=x+2$ там еще куча всего, например $x=45, y=23$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение20.04.2011, 01:35 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Одно из решений:
$\begin{cases}
n=p-2q\\
m=p+q+1\\
k=q-2p-1
\end{cases}$
Для случая Ксении, $k=2010$, $q=2011-2p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение20.04.2011, 02:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3613

(Оффтоп)

neo66 в сообщении #436886 писал(а):
nnosipov в сообщении #436832 писал(а):
А мне придумалась такая задача: найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, для которых оба числа $x^2+8y$ и $y^2-8x$ --- точные квадраты. Прошу решить.
Кроме $y=x+2$ там еще куча всего, например $x=45, y=23$.
Ну, "куча" --- это слишком громко. Кроме (x,x+2), только 3 решения: (7,15), (33,17), (45,23).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group