2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение20.04.2011, 03:16 
Заслуженный участник


20/12/10
7377
age в сообщении #436876 писал(а):
nnosipov в сообщении #436832 писал(а):
Такое ощущение, что в Вашей игре можно перечислить все пары $(m,n)$ выигрышных чисел.
Зачем перечислить, когда есть точная система уравнений, которая точно решается. Можно доказать, что данные решения не являются частными, т.е. их бесконечно много.


Всегда приятно найти все решения.

-- Ср апр 20, 2011 07:20:56 --

RIP в сообщении #436898 писал(а):
Ну, "куча" --- это слишком громко. Кроме (x,x+2), только 3 решения: (7,15), (33,17), (45,23).[/off]


А ведь действительно куча. Но это потому что коэффициенты $\pm 8$ всё-таки не маленькие. Представляю, что будет в Ксенином случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение20.04.2011, 14:04 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
nnosipov в сообщении #436900 писал(а):
Всегда приятно найти все решения.

Ну ещё бы :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение20.04.2011, 20:52 


14/04/11
33
nnosipov в сообщении #436868 писал(а):
Наверное, Вы хотели написать .

:| Конфуз вышел... всё что я написал выше, не в тот сайт... у меня в телефоне адреса не отображаются, а оформление без картинок одинаковое... Ну сейчас в компьютере, не перепутаю :lol:
nnosipov, да, у меня вышел $y=x+2$ простой подстановкой y=x+n... но как высчитать побочные, я не знаю... пока...

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение20.04.2011, 20:57 
Заслуженный участник


20/12/10
7377
Ok, ждём-с. Выше я уже писал, что приятно найти все решения. Но самое приятное --- это доказать, что других решений действительно нет :D

Кстати, Xenia1996, а для Вас эта задача очевидная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение21.04.2011, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3618
Тупой перебор на компе* показывает, что помимо тривиальных решений $m+n+2010=0$ есть только такие: $\{m,n\}=\{7104,-7656\},\{20904,-13266\}$.

(*программа для PARI/GP)

Не пытался чего-то мудрить и оптимизировать, поскольку всё равно перебор небольшой, тем более что с программированием я на Вы. Короче, писал первое, что пришло в голову. Комментировать лень, извините. Скажу только, что в случае $m,n<0$ я вообще не пытался что-то придумать и сделал перебор по всем $|mn|\le a^2/4$, а в случае $m>0>n$ я перешёл к переменным $x,y$ с помощью $m^2-8040n=(m+2x)^2,n^2-8040m=(n-2y)^2$.
Код:
condition(a,m,n)=m*n*(a^2-4*m*n)*issquare(a^2-4*m*n)*(m^2-4*a*n)*issquare(m^2-4*a*n)*(n^2-4*a*m)*issquare(n^2-4*a*m)*(a+m+n)
case2(a)=for(m=1,a/2,for(n=m,a^2/4/m,if(condition(a,-m,-n),print("a=",a,", m=",-m,", n=",-n))))
check(a,x,y)=if((y*(x^2-a*y)%(a^2-x*y)==0)*(x*(y^2-a*x)%(a^2-x*y)==0),{m=y*(x^2-a*y)/(a^2-x*y);n=x*(y^2-a*x)/(a^2-x*y);if((n+2*y<0)*(issquare(a^2-4*m*n)),print("a=",a,", m=",m,", n=",n))})
run31(a,x)=fordiv(a*(a^3-x^3),d,if((a^2+d)%x==0,check(a,x,(a^2+d)/x)))
run32(a,x)=fordiv(a*(a^3-x^3),d,if((a^2-x^3/a<d)*(d<a^2)*((a^2-d)%x==0),check(a,x,(a^2-d)/x)))
case3x(a)=for(x=1,a-1,{run31(a,x);run32(a,x)})
run33(a,y)=fordiv(a*(a^3-y^3),d,if((d<a^2-a*y)*((a^2-d)%y==0),check(a,(a^2-d)/y,y)))
case3y(a)=for(y=1,a-1,run33(a,y))
final(a)=
{
case2(a);
case3x(a);
case3y(a)
}
final(2010)

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение21.04.2011, 07:51 
Заслуженный участник


20/12/10
7377
RIP в сообщении #437227 писал(а):
Тупой перебор на компе* показывает, что помимо тривиальных решений $m+n+2010=0$ есть только такие: $\{m,n\}=\{7104,-7656\},\{20904,-13266\}$.

(*программа для PARI/GP)

Не пытался чего-то мудрить и оптимизировать, поскольку всё равно перебор небольшой, тем более что с программированием я на Вы. Короче, писал первое, что пришло в голову. Комментировать лень, извините. Скажу только, что в случае $m,n<0$ я вообще не пытался что-то придумать и сделал перебор по всем $|mn|\le a^2/4$, а в случае $m>0>n$ я перешёл к переменным $x,y$ с помощью $m^2-8040n=(m+2x)^2,n^2-8040m=(n-2y)^2$.
Код:
condition(a,m,n)=m*n*(a^2-4*m*n)*issquare(a^2-4*m*n)*(m^2-4*a*n)*issquare(m^2-4*a*n)*(n^2-4*a*m)*issquare(n^2-4*a*m)*(a+m+n)
case2(a)=for(m=1,a/2,for(n=m,a^2/4/m,if(condition(a,-m,-n),print("a=",a,", m=",-m,", n=",-n))))
check(a,x,y)=if((y*(x^2-a*y)%(a^2-x*y)==0)*(x*(y^2-a*x)%(a^2-x*y)==0),{m=y*(x^2-a*y)/(a^2-x*y);n=x*(y^2-a*x)/(a^2-x*y);if((n+2*y<0)*(issquare(a^2-4*m*n)),print("a=",a,", m=",m,", n=",n))})
run31(a,x)=fordiv(a*(a^3-x^3),d,if((a^2+d)%x==0,check(a,x,(a^2+d)/x)))
run32(a,x)=fordiv(a*(a^3-x^3),d,if((a^2-x^3/a<d)*(d<a^2)*((a^2-d)%x==0),check(a,x,(a^2-d)/x)))
case3x(a)=for(x=1,a-1,{run31(a,x);run32(a,x)})
run33(a,y)=fordiv(a*(a^3-y^3),d,if((d<a^2-a*y)*((a^2-d)%y==0),check(a,(a^2-d)/y,y)))
case3y(a)=for(y=1,a-1,run33(a,y))
final(a)=
{
case2(a);
case3x(a);
case3y(a)
}
final(2010)


Симпатичный ответ. Поначалу показался странным (куда подевались те кучи нетривиальных решений?), но потом вспомнил про третье уравнение $2010^2-4mn=\square$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение14.05.2011, 17:48 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Кажется, до меня стало потихонечку доходить, в чём тут дело. Но лучше поздно, чем никогда.
Увидела вот эту задачу и нашла ответ $(1, 4, -5)$, а там $(1, 2, -3)$.
Вроде, выходит, что любая троечка вида $(1, n, -(n+1))$ работает.

(Но самый большой прикол)

это то, что на русском языке я этой задачи не нашла, хоть она и с АСУ :lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение14.05.2011, 18:02 
Заслуженный участник


20/12/10
7377
Ксения, обратите внимание на наличие "несерийных" решений (выше они все перечислены).

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с квадратными уравнениями
Сообщение14.05.2011, 18:07 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #445827 писал(а):
Ксения, обратите внимание на наличие "несерийных" решений (выше они все перечислены).

(Оффтоп)

Да, теперь вижу. Тогда я эту задачу просто не до конца поняла (видимо, не созрела). А сейчас весь пазл собрался в единую катринку :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group