Чему равна мощность множества всех мощностей?

[Kallikanzarid]

@ewert, в ZF счетного выбора нет, так что не все.

@сахар, я отнюдь не эксперт, но:
1) ZFCU - это ZFC с аксиомой универсума Гротендика (http://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe). Аксиома гласит: для каждого множества найдется содержащий его универсум. В чистой ZFC можно доказать только существование универсума фон Неймана, который не содержит, ЕМНИП, даже множества натуральных чисел.
2) NBG - консервативное расширение ZFC, т.е. любое утверждение на языке ZFC доказуемо в ZFC тогда и только тогда, когда оно доказуемо в NBG.

[caxap]

Ко всем вопрос: почему AC так не любят (в смысле не все принимают)? Ведь
а) по-моему, она интуитивно очевидна: если у нас есть множества (пусть их даже много) и в каждом множестве есть элементы, то почему мы не можем взять по одному элементу из каждого множества?
б) многие эквивалентные формулировки ещё более очевидны. Например, произведение непустых множеств непусто. Разве это не очевидно? Если у нас есть (много) множеств, в которых есть элементы, мы их умножим, что с чего вдруг произведение станет пустым множеством?
Или: эквивалентность определений по Коши и по Гейне. Как тут можно сомневаться?
в) как я понимаю, значительная часть математики привязано к AC. Но ведь математика -- это не просто абстрактные буковки. Математика появилась как аппарат физике и другим наукам (и до сих пор эта подпидка продолжается. Математика "в себе" давно бы загнулась. Физики вечно что-то придумывают и тем самым дают пищу математикам). Но физика связана с реальным миром. То есть, наверное, можно сказать, что AC подтверждается опытом. Так чего ж ещё надо?
г) в качестве доводов против AC я обычно слышу парадокс про то, что шар можно разрезать и потом из кусков склеить 2 шара. Но не понимаю, что тут парадоксального. Шары тут являются число математическими абстрактыми объектами. Шар в математике и резиновый реальный шарик -- совсем не одно и то же. В математике есть, скажем, множество кантора, 42-мерные кубы, точки... Но в реалиях никаких подобных объектов нет. Так почему 42-мерный куб все признают, а шар, склеенный из вдух шаров -- нет?

[Joker_vD]

caxap
Не знаю. Мне аксиома выбора нравится, потому что без нее не будет леммы Цорна.

Однако есть такой принципиальный момент: скажем, лемма Цорна утверждает, что у нас есть в множестве максимальный элемент, но она совсем ничего не говорит ни о том, что же это конкретно за элемент, ни как его найти. То же и с другими приложениями АС — мы знаем, что нужный нам элемент есть, но мы не знаем его "в лицо".

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #435819 писал(а):

в ZF счетного выбора нет, так что не все

Не теоретико-множественникам нет дела ни до каких вообще Зет. Они просто используют то, что считают нужным, не вникая в аксиоматические тонкости теории множеств. И, в частности, для них "аксиома выбора" -- это синоним "полной аксиомы выбора", в то время как "аксиома счётного выбора" -- это и вообще никакая не аксиома, а так, общее место, которое они даже и не замечают в своих выкладках.

Пример: почему из предела по Гейне следует предел по Коши? Стандартное доказательство выглядит примерно так. Пусть $b$ -- предел по Гейне, но не по Коши, т.е $\exists\varepsilon:\;(\forall\delta)\exists x\in N_{\delta}: f(x)\not\in N$. Хорошо, возьмём любую последовательность $\delta_k\to0$ и для каждого $k$ выберем какую-либо точку $x_k\in N_{\delta_k}$...
Стоп, это уже аксиома счётного выбора. Но никто, будучи в трезвом уме и здравом рассудке, в этом месте на неё не сошлётся.

А вот в доказательстве какой-нибудь теоремы Хана-Банаха или построении множества Витали, напротив, обязательно будут присутствовать слова типа: "используя аксиому выбора, ...". Но, между прочим, ни в коем случае не "аксиому полного выбора". Просто аксиому выбора -- и всё тут.

caxap в сообщении #435821 писал(а):

по-моему, она интуитивно очевидна: если у нас есть множества (пусть их даже много) и в каждом множестве есть элементы, то почему мы не можем взять по одному элементу из каждого множества?

Интуитивно очевидна аксиома счётного выбора, и именно поэтому вне теории множеств её никогда и не упоминают, используя неявно. Потому что она как минимум выглядит конструктивно (хотя формально и не конструктивна), давая как минимум намёк на возможность конструктивного построения объекта: берём элемент из первого множества, затем -- из второго и т.д.. И очень часто этот абстрактный выбор удаётся достроить до действительно работающего алгоритма; т.е. аксиома счётного выбора имеет как минимум эвристическую ценность.

Но если речь об аксиоме полного выбора, т.е. если семейство множеств несчётно, то ни о каком конструктивном алгоритме выбора заведомо не может быть и речи. Т.е. с помощью аксиомы полного выбора обычно доказывают утверждения типа: да, мол, интересующий нас объект существует, но -- нам его ни в жисть не найти. Отсюда и отношение к этой аксиоме.

[Kallikanzarid]

@ewert,
1) аксиома счетного выбора независима с ZF
2) с аргументами от "интуитивной очевидности" попрошу на форум Ванги
Дальнейший разговор считают бессмысленным

@сахар, @Joker_vD, почитайте лекцию Вербицкого по топологии №0, там он приводит аргументы за и против аксиомы выбора.

[ewert]

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #435866 писал(а):

аксиома счетного выбора независима с ZF

Никто с этим и не спорит. Речь вообще шла не о зависимости или независимости. Читаем вопрос:

caxap в сообщении #435821 писал(а):

почему AC так не любят (в смысле не все принимают)?

Читаем ответ, почему. Вообще читаем.

[Виктор Викторов]

caxap в сообщении #435821 писал(а):

Ко всем вопрос: почему AC так не любят (в смысле не все принимают)? Ведь
а) по-моему, она интуитивно очевидна: если у нас есть множества (пусть их даже много) и в каждом множестве есть элементы, то почему мы не можем взять по одному элементу из каждого множества?

Очевидность в математике бывает обманчива. Совершенно очевидно, что часть меньше целого. Но это так только, если множества конечны. Если же множества бесконечны, то собственное подмножество может быть и эквивалентно множеству. С аксиомой выбора случилась обратная история. Та интуиция к которой Вы апеллируете исходит опять из опыта с конечным множеством, но в отличие от эффектной истории сравнения множества с собственным подмножеством, аксиома выбора постулирует именно то, что дает «конечный» опыт. И, конечно, это не делает её очевидной.

[caxap]

Очевидность это типа бонуса была, главное я хотел сказать, что на AC стоит большAя (бОльшая?) часть математики, а математика прикладывается к физике, которая проверяется опытом. (Слышал, что функциональный анализ очень крепко завязан на AC, но, тем не менее, он применяется успешно в (квантовой) физике.)

Остальные аксиомы ZF же тоже не с неба упали. Можно было произвольные аксиомы выбрать, но интереса в такой математике не было бы, наверное. "Обычная" математика тем и хороша, что, применяя её, например, к физике, мы можем делать выводы, согласующиеся с экспериментом. Я, конечно, ничего не понимаю, но, наверное, аксиомы ZF были специально выбраны так, чтобы покрыть "обычную" математику, то есть можно сказать, что ZF выбрана так, чтобы согласовываться с реальным миром. Ну ведь AC тоже с ним согласуется. Почему она белая ворона?

-- 17 апр 2011, 18:07 --

Kallikanzarid в сообщении #435866 писал(а):

почитайте лекцию Вербицкого по топологии №0

Почитал, легче не стало. Там он несколько раз упоминает об избитом разрезании шара и склеивании двух, но меня это не убеждает. (Измеримость меня тоже не убедила, но тут причина проще: я не знаю, что это такое.)

[ewert]

caxap в сообщении #435913 писал(а):

главное я хотел сказать, что на AC стоит большAя (бОльшая?) часть математики,

Вербицкий как раз говорит о том, что наоборот -- на ней стоит меньшая часть математики. Его позиция сводится примерно к следующему: аксиома выбора -- штука иногда полезная, но "хорошим тоном считается" её всячески избегать, а если уж использовать -- то с обязательным указанием на неё. И в этом он не оригинален, это наиболее распространённый подход.

caxap в сообщении #435913 писал(а):

Измеримость меня тоже не убедила

Правильно не убедила, тут он неправ. Называть существования неизмеримых по Лебегу множеств "основной проблемой", связанной с аксиомой выбора -- совершенно неверно. Здесь, напротив, аксиома выбора парадоксальным образом оказывается более конструктивной, чем аксиома детерминированности (из которой следует, что любое множество измеримо). Ведь ясно же, что невозможно практически построить никакой конструкции, которая позволяла бы найти меру вообще любого множества.

Ещё два дефекта в аргументации Вербицкого. Во-первых, он ничего не говорит о главном дефекте этой аксиомы -- о её демонстративной неконструктивности. Во-вторых, не говорит о том, в чём от неё действительная польза -- в способности давать отрицательные ответы, т.е. закрывать тупиковые направления. Скажем, если с её помощью доказано существование неизмеримых множеств -- то это вовсе ещё не означает, что это существование и впрямь доказано. Но что совершенно точно -- доказана безнадёжность попыток доказательства всеобщей измеримости в рамках, скажем, чистой ZF.

[Виктор Викторов]

caxap в сообщении #435913 писал(а):

… функциональный анализ очень крепко завязан на AC …

П. С. Александров «Введение в теорию множеств и общую топологию». Страницы 74-75 мелкий шрифт.

caxap в сообщении #435913 писал(а):

Почему она белая ворона?

«Формулировка аксиомы. Ее введение в математику. Теперь, когда мы уже умеем получать подмножества некоторого данного множества, характеризующиеся некоторым определенным предикатом, поставим вопрос: можно ли мыслить существование и допускать к рассмотрению какие-либо другие подмножества, не получаемые таким путем; а если можно, то в какой мере такие множества нужны для построения теории множеств.
Аксиоме, дающей такие множества, и посвящен настоящий параграф. Однако с самого начала следует подчеркнуть то обстоятельство, что в рамках нашей системы окончательно <ultimate> не доказано, что такая аксиома действительно нужна, т. е. что для получения подмножеств, о которых только что шла речь, не достаточно аксиомы выделения.» Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 63.
Если есть интерес и время, то прочтите весь параграф 4. Многое поймете.

[Someone]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #435659 писал(а):

Someone в сообщении #435650 писал(а):

Извините, мне совершенно не интересно развлекаться псевдофилософствованиями вокруг аксиомы выбора.

Ради бога, не интересуйтесь -- но только если Вам неинтересен предмет разговора вообще.

Видите ли, я не вижу смысла повторять дискуссию столетней давности. Лет 40 назад я бы с удовольствием это пообсуждал.

ewert в сообщении #435659 писал(а):

Видите ли, есть принципиальная разница между счётной аксиомой выбора и аксиомой выбора в полном объёме. Первую признают вообще все математики (ладно, пусть практически все),

А куда им деваться? Счётная аксиома выбора формализует рассуждения, стандартно используемые математиками, работающими со счётными конструкциями (не объектами). Не будет счётной аксиомы выбора - возможности использования этих конструкций существенно сократятся. О "принципиальной разнице" я скажу чуть дальше.

ewert в сообщении #435659 писал(а):

по поводу второй же -- есть мнения разные.

Ну да. Кому некуда деваться - будут пользоваться аксиомой выбора (Вы правы: термина "полная аксиома выбора" нет, есть просто "аксиома выбора", и есть много ограниченных её вариантов). Не отказываться же от привычных конструкций, тем более, что многие счётные конструкции на несчётный случай не обобщаются (то, что академик П.С.Александров называл "паразитом счётности"; из-за этого порой приходится доказывать теорему, предполагая справедливой континуум-гипотезу).

ewert в сообщении #435748 писал(а):

Со счётным выбором работают все. И, в частности, упомянутые три теоремы/конструкции или не используют вообще никакой аксиомы выбора, или используют лишь счётную. И даже не задумываются об этом за ненадобностью.

Вообще, надобности в явном указании на аксиомы теории множеств обычно нет, и аксиома выбора здесь не является исключением. Аксиомы теории множеств подобраны так, чтобы существовала потенциальная возможность формализовать обычные математические рассуждения и, по возможности, не включают лишнего. Надобность в явной ссылке на аксиомы возникает в достаточно специальных случаях.

ewert в сообщении #435858 писал(а):

Не теоретико-множественникам нет дела ни до каких вообще Зет. Они просто используют то, что считают нужным, не вникая в аксиоматические тонкости теории множеств. И, в частности, для них "аксиома выбора" -- это синоним "полной аксиомы выбора", в то время как "аксиома счётного выбора" -- это и вообще никакая не аксиома, а так, общее место, которое они даже и не замечают в своих выкладках.

Причём, не замечают не только (счётную) аксиому выбора, но и все остальные аксиомы, если не научились их распознавать. Многие ли (я говорю не о математиках) сознательно пользуются коммутативностью сложения натуральных чисел, понимая, что это - некоторая аксиома?

ewert в сообщении #435858 писал(а):

Пример: почему из предела по Гейне следует предел по Коши? Стандартное доказательство выглядит примерно так. Пусть $b$ -- предел по Гейне, но не по Коши, т.е $\exists\varepsilon:\;(\forall\delta)\exists x\in N_{\delta}: f(x)\not\in N$. Хорошо, возьмём любую последовательность $\delta_k\to0$ и для каждого $k$ выберем какую-либо точку $x_k\in N_{\delta_k}$...
Стоп, это уже аксиома счётного выбора.

Гораздо хуже. Точки, выбранные произвольно и независимо друг от друга, могут вообще не образовывать последовательность, а счётная аксиома выбора (вместе с аксиомой подстановки) гарантирует, что получится именно последовательность, а не "неведома зверушка".

ewert в сообщении #435858 писал(а):

Интуитивно очевидна аксиома счётного выбора, и именно поэтому вне теории множеств её никогда и не упоминают, используя неявно. Потому что она как минимум выглядит конструктивно (хотя формально и не конструктивна), давая как минимум намёк на возможность конструктивного построения объекта: берём элемент из первого множества, затем -- из второго и т.д.. И очень часто этот абстрактный выбор удаётся достроить до действительно работающего алгоритма; т.е. аксиома счётного выбора имеет как минимум эвристическую ценность.

Извините, но если мы можем явно указать выбираемые элементы множеств, то никакая аксиома выбора (хотя бы и счётная) нам не нужна. А если мы были вынуждены воспользоваться счётной аксиомой выбора, то ни о какой конструктивности речи идти не может.
Точно такая же ситуация возникает при выборе одного элемента из одного множества: если мы можем явно определить выбираемый элемент - это, с точки зрения классической (не конструктивной) математики будет конструктивным доказательством. Если же мы вынуждены сказать "множество непусто, поэтому возьмём в нём любой элемент", то никакой конструктивности ни в каком смысле не будет.
Нужно также понимать, что аксиома выбора ничего не выбирает. Она только утверждает: "в таких-то условиях множество функций выбора не пусто". Если мы можем явно определить функцию выбора, мы и без аксиомы выбора знаем, что это множество не пусто; если же явного определения функции выбора дать не можем, то говорим: "по аксиоме выбора, множество функций выбора не пусто, возьмём любую из них".

(Оффтоп)

ewert в сообщении #435858 писал(а):

Но если речь об аксиоме полного выбора

Вы в полемическом запале сочинили что-то странное.

ewert в сообщении #435858 писал(а):

если семейство множеств несчётно, то ни о каком конструктивном алгоритме выбора заведомо не может быть и речи

Об алгоритме? У нас не конструктивная математика (и даже в конструктивизме алгоримы требуются только в советской школе конструктивизма). Но во многих случаях функцию выбора для несчётного семейства можно определить (и обойтись, тем самым, без аксиомы выбора).

ewert в сообщении #435923 писал(а):

Вербицкий как раз говорит о том, что наоборот -- на ней стоит меньшая часть математики. Его позиция сводится примерно к следующему: аксиома выбора -- штука иногда полезная, но "хорошим тоном считается" её всячески избегать, а если уж использовать -- то с обязательным указанием на неё. И в этом он не оригинален, это наиболее распространённый подход.

Нет, если Вербицкий так пишет, то он не прав. За исключением достаточно специальных случаев, упоминать об использовании (или об отказе от) аксиомы выбора нужды нет. Но если очень хочется, кто же запретит.

[ewert]

(Оффтоп)

Someone

Ну Вы тут много чего понаписали, и по большей части верного, но и придраться есть к чему. Поскольку всё равно это оффтопик, не буду растекаться мыслью по древу и придерусь только к этому:

Someone в сообщении #435979 писал(а):

Вообще, надобности в явном указании на аксиомы теории множеств обычно нет, и аксиома выбора здесь не является исключением.

Понимаете, это противоречит эксперименту. Экспериментальный же факт таков: в общематематических текстах действительно не принято ссылаться на все прочие аксиомы теории множеств, а вот на аксиому выбора -- общепринято. И, стало быть, -- как минимум в этом отношении она является исключением. Наверное, это всё-таки не случайно.

[alex1910]

А что с ответом на исходный вопрос топик-стартера? Пока его и близко нет.

Кстати, а является ли "множество всех мощностей" множеством хоть в какой аксиоматике? Чтобы был смысл говорить о его мощности.

[caxap]

Про ZF уже ответил Xaositect.

А что такое мощность в NBG? Класс равномощных множеств? Но тогда он не может быть элементом класса мощностей.

[Kallikanzarid]

Не может, поэтому мощность всех мощностей в NBG не определена :)