Равенство множеств

[Виктор Викторов]

almost в сообщении #435247 писал(а):

cognize в сообщении #434990 писал(а):

Ошибся. Наоборот, если $x \sim y$ для любого отношения эквивалентности $\sim$, то $x=y$.
Из этого свойства следуют все остальные свойства равенства.

О чем Вы говорите ?
При таком определении равенство невозможно.
Ну, задайте Вы отношение эквивалентности "не быть равными".
Так о каком "любом" отношении эквивалентности может идти речь ?

Откровенно говоря, непонятно о чём вы оба говорите. Эквивалентность – это всего лишь разбиение. Как разобьете так и будет. Например: беру множество натуральных чисел и разбиваю: в один класс все нечётные, в другой все числа четные, делящиеся на три и, наконец, все остальные. Тогда 1 эквивалентнo 7 и 6 эквивалентно 12, 8 не будет эквивалентно 36. Вот и всё с эвивалентностью. Только внятно прописать разбиение. Поэтому любое отношение эквивалентности я понимаю как любое разбиение. Мне кажется, что это весьма тривиально.

[cognize]

almost в сообщении #435247 писал(а):

Предикат тут в роли невинно осужденного, он совершенно не причем.

Объясняю, предикат этот вот с таким понятием равенства
$A = B\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall x\colon\ (x\in A)\ \Leftrightarrow\ (x\in B)$
имеет право на жизнь.
А с таким понятием равенства
$x = y\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall P\colon\ P(x)\ \Leftrightarrow\ P(y)$
мы получаем, что либо x не равно y, что противоречит теории множеств, либо предикат этот вовсе не предикат.
Чтобы равенства в логике и в теории множеств "совпадали", разумнее принять второе, что предикат "плохой".
Когда же я говорил, что определение равенства множеств не причем, я думал, что мы говорим в соответствующем контексте, т.е. негласно принимаем "логическое" равенство.

almost в сообщении #435247 писал(а):

Чем Вам не понравился предикат "знает", а как насчет предиката "доказывает", "бреет", "лжет" и вообще, как Вы к глаголам относитесь ?

Давайте конкретные примеры, ведущие к "абсурду".

almost в сообщении #435247 писал(а):

О чем Вы говорите ?
При таком определении равенство невозможно.
Ну, задайте Вы отношение эквивалентности "не быть равными".
Так о каком "любом" отношении эквивалентности может идти речь ?

Отношение эквивалентности - это рефлексивное, симметричное, транзитивное бинарное отношение. Какое еще "не быть равными"?

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #435100 писал(а):

Если Виктору Викторову это тоже не пригодится — что ж, я зря потратил те десять минут.

Я же сам не знаю, пригодится это или нет, поэтому и спрашиваю. Может быть и пригодится, я же этого не отрицаю.

-- Пт апр 15, 2011 23:09:41 --

Виктор Викторов
Так что насчет post434996.html#p434996 ? Чем не объяснение?

[Виктор Викторов]

cognize в сообщении #435274 писал(а):

Виктор Викторов
Так что насчет post434996.html#p434996 ? Чем не объяснение?

Терпение. Я это Вам так не оставлю, но ... позже.

cognize в сообщении #435274 писал(а):

almost в сообщении #435247 писал(а):

О чем Вы говорите ?
При таком определении равенство невозможно.
Ну, задайте Вы отношение эквивалентности "не быть равными".
Так о каком "любом" отношении эквивалентности может идти речь ?

Отношение эквивалентности - это рефлексивное, симметричное, транзитивное бинарное отношение. Какое еще "не быть равными"?

Ещё раз: эквивалентность – это разбиение. Именно поэтому возник парадокс брадобрея: разбиваем множество на два непересекающих подмножества. А куда брадобрея девать? Не работает. А равенство... Подходит только один вид разбиения: каждый класс (каждое подмножество разбиения) содержит один и только один элемент. Имен этому элементу можно дать сколько угодно и говорить о равенстве имен (равносильности), но суть-то в том, что это имена одного и того же элемента.

[arseniiv]

cognize в сообщении #435274 писал(а):

Объясняю, предикат этот вот с таким понятием равенства
$A = B\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall x\colon\ (x\in A)\ \Leftrightarrow\ (x\in B)$
имеет право на жизнь.
А с таким понятием равенства
$x = y\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall P\colon\ P(x)\ \Leftrightarrow\ P(y)$
мы получаем, что либо x не равно y, что противоречит теории множеств, либо предикат этот вовсе не предикат.

Я бы так сказал: $A = B :\Leftrightarrow \forall x\; (x \in A \Leftrightarrow x \in B)$ определяет какое-то непонятно для чего нужное отношение $=$ в теории множеств. Выводя не без помощи него четыре аксиомы, приведённые Виктором Викторовым, мы показываем, что $=$, оказывается, равенство. А просто так вертеть формулами не идёт.

-- Сб апр 16, 2011 02:07:49 --

(Правда, мне непрозрачен вывод аксиомы IV из ZF. Видимо, в нём полезны какие-нибудь теоремы кроме аксиом. Ну да ладно.)

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #435285 писал(а):

Ещё раз: эквивалентность – это разбиение. Именно поэтому возник парадокс брадобрея: разбиваем множество на два непересекающих подмножества. А куда брадобрея девать? Не работает.

Значит не разбили. Значит и отношения эквивалентности не построили.

-- Сб апр 16, 2011 00:46:51 --

arseniiv в сообщении #435293 писал(а):

А просто так вертеть формулами не идёт.

Что не так? Суть проблемы: "религиозная война" между логицистами и теми, кто за теоретико-множественный подход.

-- Сб апр 16, 2011 00:55:07 --

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #435285 писал(а):

Я это Вам так не оставлю, но ... позже.

Выглядит угрожающе...

[Виктор Викторов]

cognize в сообщении #435315 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #435285 писал(а):

Ещё раз: эквивалентность – это разбиение. Именно поэтому возник парадокс брадобрея: разбиваем множество на два непересекающих подмножества. А куда брадобрея девать? Не работает.

Значит не разбили. Значит и отношения эквивалентности не построили.

Правильно, но это и означает, что вместо эквивалентности, можно говорить о разбиении.

[arseniiv]

cognize в сообщении #435315 писал(а):

Суть проблемы: "религиозная война" между логицистами и теми, кто за теоретико-множественный подход.

Да ли? Теория множеств строится на исчислении предикатов. Куда теория множеств без логики поедет.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #435324 писал(а):

Правильно, но это и означает, что вместо эквивалентности, можно говорить о разбиении.

Ну можно, я что, отрицаю?

-- Сб апр 16, 2011 01:33:13 --

arseniiv в сообщении #435326 писал(а):

Теория множеств строится на исчислении предикатов.

Со своим "равенством".

[arseniiv]

cognize в сообщении #435327 писал(а):

Со своим "равенством".

У чистого исчисления предикатов нету никакого своего равенства!

[Виктор Викторов]

arseniiv в сообщении #435347 писал(а):

cognize в сообщении #435327 писал(а):

Со своим "равенством".

У чистого исчисления предикатов нету никакого своего равенства!

Мне не ясно, что такое чистое исчисление предикатов (без равенства?). Но у Френкеля в русском издании на странице 43 четко сказано: «В нашем случае в качестве лежащей в основе теории может быть, очевидно, взято функциональное исчисление первого порядка с равенством.»

[arseniiv]

(Оффтоп)

Завтра-завтра-завтра. Спать хочу… И смутно надеюсь, что заглянет какой-нибудь логик-формалист.

[Виктор Викторов]

cognize в сообщении #435327 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #435324 писал(а):

Правильно, но это и означает, что вместо эквивалентности, можно говорить о разбиении.

Ну можно, я что, отрицаю?

А если не отрицаете, то давайте посмотрим, что нам дает рассмотрение совокупности всех разбиений (эквивалентностей) на некотором непустом множестве $P$. На этой совокупности можно ввести строгое частичное упорядочение. Назовем разбиение $L$ предшествующим разбиению $M$, если каждый член (множество) разбиения $M$ содержится в некотором члене из разбиения $L$ и существует такой член разбиения $L{,}$ который не содержится ни в одном члене разбиения $M{.}$ Тогда каждая максимальная цепь имеет в этом строгом частичном упорядочении минимальный и максимальный элементы. Минимальным элементом совокупности разбиений будет разбиение, содержащее единственный член: само множество $P{.}$ В этом случае каждые два элемента множества $P$ эквивалентны друг другу (надеюсь очевидно, каждые два элемента множества $P$ не равны друг другу). Теперь рассмотрим любое разбиение у которого есть член, содержащий больше чем один элемент. Такое разбиение (эквивалентность) не может даже отдаленно претендовать на звание равенства (очевидно). Осталось ещё одно разбиение – максимальный элемент – разбиение, каждый член, которого содержит только один элемент. И только это разбиение напоминает равенство. Но что чему равно? Различные имена в этой номенклатуре нам не нужны (я не говорю, что их нет). Нам и равенство в этом разговоре не нужно (тех, кто захочет сказать, что я попытался отменить равенство, прошу обратить внимание на словосочетание «в этом разговоре»). Еще одно последствие такого подхода – исчезновение парадокса брадобрея: нет разбиения – нет и эквивалентности. (Опять предупреждение: речь не идет об исчезновении парадокса. Речь идет только о невозможности построения разбиения. И, конечно, для некоторых разбиений бесконечного множества нужна вся $ZFC{).}$
Теперь вернемся к примеру Френкеля:

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Он рассмотрел в книге "Set Theory and Logic" множество $F=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$ и множество $D$ всех степеней алгебраических уравнений разрешимых в радикалах. Очевидно, что $F=D$. Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". А заменив в этой фразе букву D на букву F, получаем абсурд (absurdity).

В восемнадцатом веке было известно, что множества $D$ и $F$ непусты (было известно, что квадратное уравнение разрешимо в радикалах). А теперь сконструируем пример аналогичный примеру Френкеля, но с пустым множеством: рассмотрим пустое множество $F$ и уравнение $L(x)=0$ про которое в восемнадцатом веке было неизвестно множество его решений $D$ пусто или нет. А сегодня мы знаем, что множество $D$ решений уравнения $L(x)=0$ пусто. А теперь дословно (но без кавычек) повторим фразу Френкеля: Очевидно, что $F=D$. Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". А заменив в этой фразе букву D на букву F, получаем абсурд (absurdity). Сколько у нас теперь пустых множеств? Страшно сказать: ДВА. Но, «ТЕОРЕМА 1. Существует в точности одно пустое множество.» Α. Α. ФРЕНКЕЛЬ И. БАР-ХИЛЛЕЛ «ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ» страница 60. В доказательстве единственности всего одна фраза: «... его единственность следует из аксиомы объемности», а в аксиоме объемности «... равные множества...» т. е. их (множеств) по крайней мере два. Круг замкнулся. Продолжение следует.

[Someone]

cognize в сообщении #435274 писал(а):

almost в сообщении #435247 писал(а):

Предикат тут в роли невинно осужденного, он совершенно не причем.

Объясняю, предикат этот вот с таким понятием равенства
$A = B\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall x\colon\ (x\in A)\ \Leftrightarrow\ (x\in B)$
имеет право на жизнь.
А с таким понятием равенства
$x = y\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall P\colon\ P(x)\ \Leftrightarrow\ P(y)$
мы получаем, что либо x не равно y, что противоречит теории множеств, либо предикат этот вовсе не предикат.
Чтобы равенства в логике и в теории множеств "совпадали", разумнее принять второе, что предикат "плохой".
Когда же я говорил, что определение равенства множеств не причем, я думал, что мы говорим в соответствующем контексте, т.е. негласно принимаем "логическое" равенство.

Здесь какая-то путаница. Определение равенства мы можем включить в логику или в математическую теорию, построенную на этой логике, никакой разницы нет. Дело в том, что в теории предикатов никаких "своих" предикатов нет, они считаются либо заданными извне, либо построенными по правилам исчисления предикатов из таких "внешних" предикатов. Когда мы используем теорию предикатов как логическую основу для построения теории множеств, то все предикаты определяются в теории множеств, и там нет никаких предикатов, которые нельзя было бы определить в теории множеств, то есть, все они определяются через "$\in$". Поэтому все предикаты согласованы с определением равенства, данным в теории множеств.

[cognize]

Someone в сообщении #435575 писал(а):

Когда мы используем теорию предикатов как логическую основу для построения теории множеств, то все предикаты определяются в теории множеств, и там нет никаких предикатов, которые нельзя было бы определить в теории множеств, то есть, все они определяются через "$\in$".

Тогда зачем Френкель приводит такой пример, если он, по-идее, к теории множеств никакого отношения не имеет? Не знаю, может он смотрел шире и допускал в качестве основы ТМ какую-нибудь логику с модальностями?

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #435565 писал(а):

Продолжение следует.

Итак, как же с точки зрения Френкеля (в варианте Леви) можно определить равенство (не эквивалентность!).
«Одно из фундаментальных понятий математики – понятие равенства. Относительно равенства может быть выбрана одна из следующих трех позиций.
a) Символ равенства обозначает тождество (identity) и считается принадлежащим к лежащей в основе логике. В нашем случае в качестве лежащей в основе теории взято функциональное исчисление первого порядка с равенством. Основные свойства равенства, которые с такой точки зрения логические истины, следующие:
(i) Рефлексивность: (для каждого $x$) $x=x{.}$
(ii) Симметричность: если $x=y{,}$ то $y=x{.}$
(iii) Транзитивность: если $x=y$ и $y=z{,}$ то $x=z{.}$
(iv) Подстановочность: для каждого предложения $P(x){,}$ если выполняется $P(x)$ и $x=x’$, то также выполняется $P(x’){.}$
...
Этой позиции, по существу, придерживается Цермело. Он считает $x$ и $y$ равными, если «они обозначают одну и ту же вещь», что иногда приводит к смещению употребления и упоминания символов. От этой путаницы можно избавиться при помощи тавтологического замечания, что $x$ и $y$ равны, если они суть одна и та же вещь. Это также позиция, которую мы решили официально выбрать для этой главы. Тем не менее, наше исследование охватывает и другие позиции.» Abraham A. Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Levy «FOUNDATIONS OF SET THEORY» SECOND REVISED EDITION, 1973 страницы 25-26.
В этом тексте четко и ясно изложена позиция, где $x$ и $y$ равны, если «обозначают одну и ту же вещь». На этом можно было бы и разойтись, если бы то, что написано дальше не сделало меня родоначальником нового жанра: жанра -- математического детектива. Продолжение следует.