Чему равна мощность множества всех мощностей?

[Sasha2]

Почему то кажется, что этот вопрос как-то уж очень сильно напоминает избитую тему "множество всех множеств".

[Виктор Викторов]

Несомненно вопрос о мощности всех мощностей затрагивает тему «множество всех множеств». И в этом Sasha2 прав. А вот почему тема «множество всех множеств» вдруг стала избитой понять трудно.

[AD]

(Оффтоп)

Потому что ее избили ...

[caxap]

Если мы не принимаем КГ, то что можно сказать про количество мощностей между счётной мощностью и континуумом? (С аксиомой выбора и без неё.)

-- 15 апр 2011, 21:57 --

В смысле не "хотя бы 1", а что-то более конкретное.

[Someone]

caxap в сообщении #434523 писал(а):

мат-ламер в сообщении #434490 писал(а):

Откуда это следует?

Извиняюсь. Действительно, ни что не мешает какой-нибудь мощности закрасться, например, между $\mathfrak c$ и $2^{\mathfrak c}$. То есть даже с принятием КГ нельзя точно сказать, чему равна мощность множества всех мощностей (обозначим её $\mathfrak A$)?

Про обобщённую КГ нашёл. Она утверждает для для любой мощности $\mathfrak m$ не существует промежуточной мощности между $\mathfrak m$ и $2^{\mathfrak m}$. Если принять её, то $\mathfrak A=\aleph_0$?

Беда в следующем: если есть некоторое множество кардиналов $A$, то кардинал $\tau_A=\sum\{\tau:\tau\in A\}$ удовлетворяет условию $\forall\tau(\tau\in A\Rightarrow 2^{\tau_A}>\tau_A\geqslant\tau)$, поэтому, какое бы множество кардиналов Вы ни взяли, всегда существует кардинал ещё больший, чем любой из кардиналов данного множества. Теперь подставьте сюда "множество всех кардиналов" и получите кардинал, который больше любого кардинала. А это абсурд.

caxap в сообщении #434523 писал(а):

Пусть КГ не верна. Могут ли быть тогда мощности располагаться "плотно", т. е. меду любыми различными есть промежуточная? Если да, то что значит $\aleph_1$?

Если принимаем аксиому выбора, то все кардиналы - это мощности вполне упорядоченных множеств, то есть, алефы, и они сами вполне упорядочены, в частности, в каждом непустом множестве кардиналов имеется наименьший.
О том, что будет без аксиомы выбора, я почти ничего не знаю. Как будто бы (точно не помню) я где-то читал, что если взять любое частично упорядоченное множество, то можно построить модель ZF, в которой некоторое множество кардиналов будет упорядочено так же, как взятое нами множество. Однако алефы можно определить и без аксиомы выбора, и они также будут вполне упорядочены.

caxap в сообщении #434523 писал(а):

Почему редко используют бет-обозначения $\beth_0:=|\mathbb N|$, $\beth_{n+1}:=2^{\beth_n}$? Тогда $\mathfrak c=\beth_1$ и вообще обозначения не зависят от КГ (в отличии от алефов). По-моему, весьма удобно.

Наверное, потому, что большая часть кардиналов при этом может оказаться "за бортом", если не постулировать [GCH].

caxap в сообщении #435240 писал(а):

Если мы не принимаем КГ, то что можно сказать про количество мощностей между счётной мощностью и континуумом? (С аксиомой выбора и без неё.)

В смысле не "хотя бы 1", а что-то более конкретное.

С аксиомой выбора есть два ограничения, о которых я знаю: число таких кардиналов не превосходит континуума; континуум не является суммой счётного множества меньших кардиналов. В остальном, как будто бы, полная свобода. Без аксиомы выбора свобода ещё более увеличивается, в частности, числовая прямая может оказаться объединением счётного множества счётных множеств.

[ewert]

Someone в сообщении #435518 писал(а):

Без аксиомы выбора свобода ещё более увеличивается, в частности, числовая прямая может оказаться объединением счётного множества счётных множеств.

Без какой аксиомы выбора?...

[caxap]

Someone
Спасибо за ответ!

(Оффтоп)

Someone в сообщении #435518 писал(а):

Наверное, потому, что большая часть кардиналов при этом может оказаться "за бортом", если не постулировать [GCH].

Да, но, как уже писал, беты полезны тем, что они не привязаны к CH. То есть они покрывают все "обычные" мощности (счётная, континуум, количество функций $\mathbb R\to\mathbb R$ и т. д.), т. е. такие, которые есть независимо от CH. Когда видишь $\beth_2$ сразу оцениваешь, насколько это много. А про$\aleph_2$ ничего определённого сказать нельзя. То есть от живых людей кроме $\aleph_0$ ничего не увидишь, а для континуума и пр. приходится изобретать всякие $\mathfrak c$ и т. п.

[Someone]

ewert в сообщении #435524 писал(а):

Someone в сообщении #435518 писал(а):

Без аксиомы выбора свобода ещё более увеличивается, в частности, числовая прямая может оказаться объединением счётного множества счётных множеств.

Без какой аксиомы выбора?...

Без всякой.

[Xenia1996]

caxap в сообщении #434474 писал(а):

Если принять континуум-гипотезу (КГ), то, вроде бы, $\aleph_0$. Если $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$, а между $\aleph_0$ и $\mathfrak c$ нет мощностей, то, получается, каждая следующая мощность получается из предыдущей $\mathfrak m$ как $2^{\mathfrak m}$ (и между ними нет промежуточных мощностей).

Если КГ не принимать, то... а сколько мощностей между $\aleph_0$ и $\mathfrak c$? Простое отрицании КГ вроде бы об этом ничего не говорит.

Может быть, Вам поможет вот это?

[ewert]

Someone в сообщении #435570 писал(а):

Без всякой.

Где используется несчётная аксиома выбора -- при построении множества вещественных чисел, при доказательстве его несчётности или при доказательстве счётности счётного объединения счётных множеств?

[Someone]

Я сказал - без всякой. В том числе - без счётной, без аксиомы зависимого выбора и "даже" без аксиомы детерминированности. В рамках стандартной ZF.

(Оффтоп)

Извините, мне совершенно не интересно развлекаться псевдофилософствованиями вокруг аксиомы выбора.

[ewert]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #435650 писал(а):

Извините, мне совершенно не интересно развлекаться псевдофилософствованиями вокруг аксиомы выбора.

Ради бога, не интересуйтесь -- но только если Вам неинтересен предмет разговора вообще. Видите ли, есть принципиальная разница между счётной аксиомой выбора и аксиомой выбора в полном объёме. Первую признают вообще все математики (ладно, пусть практически все), по поводу второй же -- есть мнения разные. Поэтому когда вообще говорят об аксиоме выбора -- всегда имеют в виду именно её полный вариант в противоположность счётному. Если Вы хотите завести другую моду -- флаг в руки; но Вам придётся тогда считаться с тем, что 99% (ладно, пусть с копейками) математиков, живущих в этом мире, попросту не поймут, о чём это Вы.

[Kallikanzarid]

ewert, выбор аксиом всегда произволен. Большинство математиков, занимающихся не теорией множеств, работают либо с ZFC, либо с более слабой ZF, либо с расширениями, необходимыми для более удобной работы с категориями (NBG, ZFCU). Со счетным выбором работает мало кто, увы и ах

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #435730 писал(а):

Большинство математиков, занимающихся не теорией множеств, работают либо с ZFC, либо с более слабой ZF, либо с расширениями, необходимыми для более удобной работы с категориями (NBG, ZFCU). Со счетным выбором работает мало кто

Со счётным выбором работают все. И, в частности, упомянутые три теоремы/конструкции или не используют вообще никакой аксиомы выбора, или используют лишь счётную. И даже не задумываются об этом за ненадобностью.

[caxap]

(Kallikanzarid)

Можно несколько вопросов?
1) Что такое ZFCU?
2) NBG эквивалентна ZFC?
3) Если верно 2), то как в ZFC определить эквивалент того, что в NBG называется "класс"?