Чему равна мощность множества всех мощностей?

[caxap]

Если принять континуум-гипотезу (КГ), то, вроде бы, $\aleph_0$. Если $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$, а между $\aleph_0$ и $\mathfrak c$ нет мощностей, то, получается, каждая следующая мощность получается из предыдущей $\mathfrak m$ как $2^{\mathfrak m}$ (и между ними нет промежуточных мощностей).

Если КГ не принимать, то... а сколько мощностей между $\aleph_0$ и $\mathfrak c$? Простое отрицании КГ вроде бы об этом ничего не говорит.

[Null]

Еще проблема в мощностях больших любого

$$2^{.^{.^{.^{2^{\aleph_0}}}}$$

(Оффтоп)

Как это TeXнично записать?

[мат-ламер]

caxap в сообщении #434474 писал(а):

то, получается, каждая следующая мощность получается из предыдущей $\mathfrak m$ как $2^{\mathfrak m}$ (и между ними нет промежуточных мощностей).

Откуда это следует?

(Оффтоп)

Что-то я слышал про обобщённую континуум-гипотезу, но точно не припомню.

[caxap]

мат-ламер в сообщении #434490 писал(а):

Откуда это следует?

Извиняюсь. Действительно, ни что не мешает какой-нибудь мощности закрасться, например, между $\mathfrak c$ и $2^{\mathfrak c}$. То есть даже с принятием КГ нельзя точно сказать, чему равна мощность множества всех мощностей (обозначим её $\mathfrak A$)?

Про обобщённую КГ нашёл. Она утверждает для для любой мощности $\mathfrak m$ не существует промежуточной мощности между $\mathfrak m$ и $2^{\mathfrak m}$. Если принять её, то $\mathfrak A=\aleph_0$?

Вопрос 2. Пусть КГ не верна. Могут ли быть тогда мощности располагаться "плотно", т. е. меду любыми различными есть промежуточная? Если да, то что значит $\aleph_1$?

Вопрос 3. Почему редко используют бет-обозначения $\beth_0:=|\mathbb N|$, $\beth_{n+1}:=2^{\beth_n}$? Тогда $\mathfrak c=\beth_1$ и вообще обозначения не зависят от КГ (в отличии от алефов). По-моему, весьма удобно. И пишется легко.

Вопрос 4. Где можно подробно почитать про КГ, обобщённую КГ, её связи с ZF(C) [например о том, что из обобщённой КГ следует аксиома выбора], ординалах, $\aleph_{\alpha}$ и $\beth_{\alpha}$ для произвольных ординалов и т. д. и т. п.?

-- 13 апр 2011, 22:33 --

Null в сообщении #434477 писал(а):

Еще проблема в мощностях больших любого

Вы имеете в виду супремум всех башен конечной высоты? Что-то вы меня загрузили...

[Алексей К.]

(2 Null)

Null в сообщении #434477 писал(а):

Как это TeXнично записать?

Я бы воспользовался Вашей методой, только точки на уровень выше загнал бы (первая точка плохая):

$$2^{^{.^{.^{.^{2^{\aleph_0}}}}}$$

Возможно, что-то предлагает пакет mathdots (не читал, не знаю). Там, похоже, определяется штука, симметричная $\ddots$

[caxap]

Вопрос 6. Мощность множества всех ординалов тоже равна $\mathfrak A$?

[Kallikanzarid]

OP, в ZFC такого множества нет. Более того, ЕМНИП в NBG нет даже такого класса, так что проблема :))))

[caxap]

Kallikanzarid в сообщении #434791 писал(а):

в ZFC такого множества нет

Почему? Возьмём для каждой мощности представителя (множество с такой мощностью). Получим некоторое множество. $\mathfrak A$ равна его мощности. С ординалами аналогично. Не так?

[Xaositect]

caxap в сообщении #434798 писал(а):

Получим некоторое множество.

Вот это и надо доказывать.

Множества всех ординалов не существует из-за парадокса Бурали-Форти (Если бы оно существовало, оно было бы максимальным ординалом, а у любого ординала есть следующий)
Множества всех кардиналов не существует, т.к. каждому кардиналу можно сопоставить минимальный ординал этой мощности и дальше аналогично.

[caxap]

Xaositect
Спасибо! 1-й вопрос снят. (Ведь читал про Бурали--Форти в Верещагине! Память как у старого дедушки...)

Остались вопросы 2,3,4.

[Xaositect]

caxap в сообщении #434523 писал(а):

Где можно подробно почитать про КГ, обобщённую КГ, её связи с ZF(C) [например о том, что из обобщённой КГ следует аксиома выбора]

Коэна ("Теория множеств и континуум-гипотеза") уже пробовали читать?

-- Чт апр 14, 2011 18:54:49 --

caxap в сообщении #434523 писал(а):

Вопрос 2. Пусть КГ не верна. Могут ли быть тогда мощности располагаться "плотно", т. е. меду любыми различными есть промежуточная? Если да, то что значит $\aleph_1$?

Если есть AC, не может. Для любого кардинала существует следующий. Для кардинала $\kappa$ это мощность множества всех ординалов, мощность которых не больше $\kappa$.
Если аксиомы выбора нет, то вроде тоже нет, но точно не знаю. Кажется там будет много несравнимых мощностей, а плотных цепочек все равно не будет.

[caxap]

Xaositect в сообщении #434815 писал(а):

Коэна ("Теория множеств и континуум-гипотеза") уже пробовали читать?

Нет. Почитаю.

Xaositect в сообщении #434815 писал(а):

Для кардинала $\kappa$ это мощность множества всех ординалов, мощность которых не больше $\kappa$.

Об этом в Коэне тоже есть?

[мат-ламер]

caxap в сообщении #434830 писал(а):

Xaositect в сообщении #434815 писал(а):

Для кардинала $\kappa$ это мощность множества всех ординалов, мощность которых не больше $\kappa$.

Об этом в Коэне тоже есть?

Это вроде есть в Колмогорове-Фомине.

[Виктор Викторов]

cахар! Просмотрите (если всё знакомо, то по диагонали) всё что есть по ординалам у П. С. Александрова в книге «Введение в теорию множеств и общую топологию».

[AD]

(еще раз о power tower)

Д.Кнут советует в этом случае трижды \cdot