Равенство множеств

[man]

Виктор Викторов в сообщении #421898 писал(а):

По первой части Ваших соображений посмотрите у Френкеля на страницах 47-48. Определение IIa там идет вместе с аксиомой Ia, и, соответственно, определение IIb вместе с аксиомой Ib. Все, что можно доказать с помощью первой пары можно доказать и с помощью второй пары и наоборот.

Оказывается не все (а только "для последующего изложения")

[Виктор Викторов]

В 1973 году было выпущено второе издание книги «Основания теории множеств». К этому времени Френкеля уже не было в живых (умер в 1966 году) и главу 2 полностью переписал Azriel Levy. И ... равенство множеств в понимании первого издания вместе с определениями IIa и IIb исчезло. Вместо равенства множеств появилось «членство-конгруэнция» (membership-congruence) и доказывается, что это «членство-конгруэнция», вытекающее из точки зрения c), сводится к равенству в понимании точки зрения a) т. е. различных имен одного и того же объекта. И только после совмещения точек зрения а) и с) вводится аксиома объемности!
Вот как выглядит теперь уже определение II во втором издании:
«DEFINITION II. $x$ is said to be membership-congruent to $y$ $(x =_m y)$ if for all $z{,}$ $x\in z$ if and only if $y\in z$ and also for all $u{,}$ $u\in x$ if and only if $u\in y{;}$ in other words, $x =_m y$ if every set which contains one of them contains also the other and every element contained in one of them is also contained in the other.» Abraham A. Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Levy «FOUNDATIONS OF SET THEORY» SECOND REVISED EDITION, 1973 страница 27.
Русский перевод:
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ II. Мы будем говорить, что $x$ конгруэнтно по членству $y$ $(x =_m y){,}$ тогда и только тогда, когда для всех $z{,}$ [таких, что] $x\in z$ -- $y\in z{,}$ и также тогда и только тогда, когда для всех $u{,}$ [таких, что] $u\in x$ -- $u\in y{;}$ другими словами $x =_m y$ если каждое множество, которое содержит один из них [элемент], содержит также и другой, и каждый элемент, содержащийся в одном из них [множеств], содержится также и в другом».

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Очевидно, что $F=D$. Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". А заменив в этой фразе букву D на букву F, получаем абсурд (absurdity).

Я был прав, проблема не в множествах, а в порочности формальной логики, допускающей предикаты вроде "X знает Y". http://en.wikipedia.org/wiki/Masked_man_fallacy

-- Сб апр 09, 2011 00:05:52 --

Вот это post381285.html#p381285 мое сообщение беру обратно. Там я был не прав.

[Виктор Викторов]

Ещё одно ниспровержение на нашу голову. «Я знаком с $x$». «Я не знаю $y$, который украл нечто» не есть отрицание первого утверждения.

[cognize]

Объясняю на пальцах. Пусть $P(x):=$"Вася знает, что $E=x$".
$P(E)$ - истина.
Пусть $P(D)$ - ложь.
Следовательно, $E$ не равно $D$.
Но по условию, $E=D$.
А теперь смотрим сюда:

http://ru.wikipedia.org/wiki/Ошибка_про_человека_в_маске писал(а):

Факт 1: Я знаю, кто такой Х.
Факт 2: Я не знаю, кто такой Y.
Вывод: Следовательно, X - это не Y.
Проблема в том, что и факт 1, и факт 2 могут быть одновременно верными даже когда X и Y относятся к одному и тому же человеку. Предпосылки верны, а вывод - нет, следовательно такой ход рассуждений ошибочен.

Теперь Вы видите сходство?

[Виктор Викторов]

Нет. Не вижу. Не могут быть $E=D$ при Ваших условиях. Русский перевод в ВИКИ нелеп. В английском оригинале другой текст. И там именно, то что я и сказал. Оба утверждения мирно уживаются потому, что они не являются противоположными.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #432687 писал(а):

Не могут быть $E=D$ при Ваших условиях.

Я подразумевал Ваши условия:
$F=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$
$D$ - множество всех степеней алгебраических уравнений разрешимых в радикалах.

-- Сб апр 09, 2011 01:02:49 --

Виктор Викторов в сообщении #432687 писал(а):

Русский перевод в ВИКИ нелеп. В английском оригинале другой текст. И там именно, то что я и сказал.

Т.е. Вы хотите сказать, что это

Цитата:

Fact 1: I know who X is.
Fact 2: I do not know who Y is.
Conclusion: Therefore, X is not Y.

и это

Цитата:

Факт 1: Я знаю, кто такой Х.
Факт 2: Я не знаю, кто такой Y.
Вывод: Следовательно, X - это не Y.

означают не одно и то же?

-- Сб апр 09, 2011 01:11:34 --

"I do not know who Y is" $= \neg$ "I know who Y is".
Вы это будете отрицать? Тогда спокойной ночи.

[Виктор Викторов]

cognize в сообщении #432690 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #432687 писал(а):

Русский перевод в ВИКИ нелеп. В английском оригинале другой текст. И там именно, то что я и сказал.

Т.е. Вы хотите сказать, что это

Цитата:

Fact 1: I know who X is.
Fact 2: I do not know who Y is.
Conclusion: Therefore, X is not Y.

и это

Цитата:

Факт 1: Я знаю, кто такой Х.
Факт 2: Я не знаю, кто такой Y.
Вывод: Следовательно, X - это не Y.

означают не одно и то же?

Там только добавлен текст:

Цитата:

The problem arises because Fact 1 and Fact 2 can be simultaneously true even when X and Y refer to the same person. Consider the argument, I know who my father is. I do not know who the thief is. Therefore, my father is not the thief. The premises may be true and the conclusion false if the father is the thief but the speaker does not know this about his father. Thus the argument is a fallacious one.
The name of the fallacy comes from the example, "I do not know who the masked man is", which can be true even though the masked man is Jones, and I know who Jones is.
If someone were to say, "I do not know the masked man," it implies, "If I do know the masked man, I do not know that he is the masked man." The Masked Man fallacy omits the implication.
Note that the following similar argument is valid:
• X is Z
• Y is not Z
• Therefore, X is not Y
But this is because being something is different from knowing (or believing, etc.) something.

Что касается этого куска,

cognize в сообщении #432680 писал(а):

Объясняю на пальцах. Пусть $P(x):=$"Вася знает, что $E=x$".
$P(E)$ - истина.
Пусть $P(D)$ - ложь.
Следовательно, $E$ не равно $D$.
Но по условию, $E=D$.

то отрицанием будет «Вася не знает, что $E=x$», равны или нет множества – дело десятое.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #432695 писал(а):

Там только добавлен текст:

И что в нем такого, что противоречит моим словам?

-- Сб апр 09, 2011 01:29:08 --

Виктор Викторов в сообщении #432695 писал(а):

Что касается этого куска,

cognize в сообщении #432680 писал(а):

Объясняю на пальцах. Пусть $P(x):=$"Вася знает, что $E=x$".
$P(E)$ - истина.
Пусть $P(D)$ - ложь.
Следовательно, $E$ не равно $D$.
Но по условию, $E=D$.

то отрицанием будет «Вася не знает, что $E=x$», равны или нет множества – дело десятое.

Что Вы хотите сказать?

-- Сб апр 09, 2011 01:32:09 --

Ну вот Вам точь в точь как в вики:
Fact 1: $P(E)$.
Fact 2: $\neg P(D)$.
Conclusion: Therefore, $E$ is not $D$.

[Виктор Викторов]

Мне вики не указ. Из того, что $P(E)$ и $\neg P(D)$ истинны не следует ничего о равенстве двух множеств. Речь идет только о знаниях Васи.

[cognize]

Если Вас смущает то, что в вики кто-то знает именно кого-то (персону), а не что-то, то можно привести другой пример "из жизни".
Пускай Вася - тупой школьник, который знает, что $2=1+1$, но не знает, что $2=1+(3-2)$.
Пусть $E=1$, а $D=(3-2)$. Мы с Вами знаем, что $E=D$, и это правда.
Пусть $P(x)=$"Вася знает, что $2=1+x$"
Fact 1: $P(E)$.
Fact 2: $\neg P(D)$.
Conclusion: Therefore, $E$ is not $D$.

-- Сб апр 09, 2011 02:12:36 --

Виктор Викторов в сообщении #432706 писал(а):

Из того, что $P(E)$ и $\neg P(D)$ истинны не следует ничего о равенстве двух множеств. Речь идет только о знаниях Васи.

Врете! Из того, что $P(E)$ и $\neg P(D)$ истинны, следует, что E не может быть равен D (и это справедливо независимо от смысла предиката $P$), иначе получим, что $P(E)$ должно быть одновременно истинным и ложным.

[Виктор Викторов]

cognize!
Поймите. В Вашем предложении глагол "знает", а о равенстве утвеждение выглядит "есть равно". Поэтому и любое отрицание то же о Васе "не знает", а не о равенстве множеств.

[cognize]

Виктор Викторов
Да какая разница... Это Вы поймите, у Вас есть предикат $P$. Допустим Вам о нем ничего неизвестно кроме того, что $P(E)$ и $\neg P(D)$ истинны. Также Вы знаете только то, что $E$ и $D$ одно и то же (не важно, множества это или что-то другое поддающееся сравнению). Что Вы на это скажете? Естественно, Вы скажете, что такого предиката $P$ не существует.

-- Сб апр 09, 2011 02:23:01 --

Точно так же сделали с парадоксам Рассела. Он преобразовывается в следующий логический парадокс.
Пусть $P(x)=\neg x(x)$. Получаем, что $P(P)=\neg P(P)$.
Таким образом, мы просто доказали, что такого предиката не существует и убрали из рассмотрения.

[Виктор Викторов]

Именно разница. "Вася знает, что я в Барселоне" предложение о Васе (знает, не знает), а где я совершенно другой вопрос.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #432720 писал(а):

Именно разница. "Вася знает, что я в Барселоне" предложение о Васе (знает, не знает), а где я совершенно другой вопрос.

Ну... это, вообще говоря, не важно. Важно лишь то, что он действительно это знает, даже если то, что он знает не правда. Дело же совсем не в этом.
Рассмотрим такой пример. P(x)="Вася знает, что x в Барселоне". Допустим Вася знает Вас, но не знает, как Вас зовут. P("я") - истинно (под "я" подразумеваетесь Вы), но Вы на самом деле может и не в Барселоне. Просто Васе кто-то это сказал и теперь он знает, но не факт, что правду. Так же, пусть P(Виктор Викторов) - ложь. Он теперь не знает, но, опять же, нам не важна правдивость или ложность того, что он не знает. Итак, мы получили, что если Виктор Викторов и "я" - одно и то же, то P("я") одновременно истинно и ложно. Значит, Виктор Викторов и "я" не одно и то же, что противоречит условию задачи. Теперь понятно?

Можно же взять и другой пример чтобы Вам понятней было: $P(x):=$"в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $x$ равно множеству $F$".
Получаем, что P(E) - ложь, а P(D) - истина, но т.к. E=D, то получаем, что P(E) и верно и не верно одновременно. Вывод: выкинуть такой предикат из теории, иначе она будет противоречивой. Вот и все. И определение равенства множеств тут абсолютно не причем.

-- Сб апр 09, 2011 03:28:19 --

Еще раз. Пусть $F=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$
$D$ - множество всех степеней алгебраических уравнений разрешимых в радикалах.
Множества $E$ и $D$ равны. Пусть $P(x)=$"Вася знает, что $E=x$".
Факт 1. $P(E)$. Но не факт, что то, что знает Вася - правда. Может он на самом деле знает неправду. Главное лишь то, что $P(E)$ - истина, такое условие.
Факт 2. $\neg P(D)$. Опять же, важно лишь то, что Вася не знает этого, он на самом деле этого не знает, такое условие.
Вывод: чем бы ни были E и D они не могут быть равны, иначе мы получим противоречие приняв два факта выше. Значит, E и D не есть одно и то же.