Задачи с матрицами и степенями

[Sirian]

Да я понял уже ) (еще когда перемножил )) )
просто решил немного повеселиться ))
извиняюсь )... просто настроение фиговое...

[Sirian]

Оценка максимального определителя...
собственно интересует данный вопрос.
нашел книжку в которой есть теорема адамара об оценке определителя. но там немного неясно изложено.
может есть еще где нить подобная теоремка?

[Brukvalub]

см. М.Маркус, Х.Минк, Обзор по теории матриц и матричных неравенств, М., изд-во "Наука", 1972 и Маршалл А., Олкин И. — Неравенства: теория мажоризации и ее приложения

[Sirian]

спасибо...
но я все же нашел нормальный ответ в книжке смирнова "курс высшей математики т.3. ч.1"

Добавлено спустя 2 часа 31 минуту 32 секунды:

следующая задача:
докажите что для диагонализуемости матрицы необходимо и достаточно чтобы для любого собственного значения L ядро и образ матрицы A-LI имели в пересечении лишь нулевой вектор

[bot]

Sirian писал(а):

но я все же нашел нормальный ответ в книжке смирнова

Здесь наверно лучше:
Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств,

А какие будут собственные соображения по задаче?
Она ведь не сложнее вопроса про жорданов базис - собссно из определений всё сразу и следует.

[Sirian]

соображений нет...((

[Sirian]

дайте какую нить подсказку )

[нг]

Sirian,
Перестаньте, пожалуйста, попрошайничать (и поднимать тему, правила 1.1.м).

[bot]

Sirian писал(а):

дайте какую нить подсказку )

Ну, начните с того, что всякое необходимое и достаточное условие предполагает доказательство в две стороны. Сформулируйте каждое из них в виде импликации и начните с любого.
А попрошайничать действительно нехорошо.

[Sirian]

да я уже решил эту задачку )

Добавлено спустя 7 минут 52 секунды:

у меня терь другая задачка:
доказать, что

\[ \left[\kern-0.15em\left[ L \right]\kern-0.15em\right]_2 \leqslant \log _2 2n\left[\kern-0.15em\left[ A \right]\kern-0.15em\right]_2 \]

где L - нижняя треугольная матрица (с нижней треугольной частью взятой из A)
собственно не надо расценивать это как попрошайничество ) это как просьба помочь (точнее даже просто подсказку надо как решать, с чего начать))

[eugrita]

Brukvalub в сообщении #63330 писал(а):

Вот его-то и проверяйте

А вот хочу только уточнить (возможно подзабыл - давно это было):
является ли отсутствие кратных собственных значений необходимым условием диагонализации? Помнится видел пример матрицы 3 порядка с характеристическим уравнением
$\lambda^3+\lambda^2=0$
но все же диагонализируемую. Если так, то есть ли критерий диагонализируемости над полем вещественных чисел?

[мат-ламер]

Цитата:

Если так, то есть ли критерий диагонализируемости над полем вещественных чисел?

Все с.зн. вещественны и все клетки Жордана единичного размера.

[eugrita]

мат-ламер в сообщении #426849 писал(а):

Цитата:

Если так, то есть ли критерий диагонализируемости над полем вещественных чисел?

Все с.зн. вещественны и все клетки Жордана единичного размера.

Спасибо конечно. За время пока получил ваш ответ я нашел и этот и эквивалентные формулировки
Жордановы клетки размерности 1
2. Все корневые векторы имеют высоту один
3. Минимальный многочлен матрицы без кратных корней
4. Алгебраич кратность каждого собств числа =его геометрич кратностью.
Меня интересует такая формулировка критерия, чтоб она была понята системой математич расчетов, прежде всего Матлаб. Навскидку - там есть функция
jordan(A) возвращающая жорданово разложение - наверно она и может быть индикатором диагонализируемости. Хотелось бы если возможно самому придумать или получить готовые примеры таких матриц 3-4 порядков

[bot]

eugrita в сообщении #426859 писал(а):

Хотелось бы если возможно самому придумать или получить готовые примеры таких матриц 3-4 порядков

А какие проблемы - берёте произвольную диагональную матрицу $D$, любую невырожденную $T$ и получаете дигонализируемую матрицу $A=T^{-1}DT$. Если нужна недиагонализируемая, то вместо $D$ берёте матрицу в жордановой форме хотя бы с одной клеткой размера больше 1.
Так обычно задачи для контрольных и составляются.

[eugrita]

Собственно я хотел бы в этом вопросе больше чем разобрать спектр матриц.
алгебраическая кратность = кратность собств числа как корень характеристич многочлена, геом.кратн - размерность пр-ва решений , т е
$n-rank(A-\lambda*E)$
алг кратность всегда >=геом кратности
Во многих ВУЗах студенты кроме курсов алгебры работают на математических пакетах Матлаб, маткад,математика и пр. Получить матрицу, ее спектр –раз плюнуть – запомнить оператор. Но прибавится ли у них от этого понимания?
Я считаю идеалом в этой/этих темах достичь следующего:
По заданной матрице 3-8 порядка
1) по виду спектра оценить ее обусловленность и погрешность решения при использовании в СЛАУ
2) построить (пусть с помощью пакета) фундаментальную матрицу СЛДУ, рассматривая исходную как матрицу коэффициентов. И объяснить качественно свойства форм свободных колебаний.
При этом ,как видимо вам известно, на курсах по дифурам случай кратных собственных значений рассматривается реже, ну а уж подслучай разной алгебраической и геометрической кратностей – тем более. Я видел пособие где отдельной строкой прямо об этом и сообщается.
Именно так я представляю себе нормальный уровень знания по этой теме, но к сожалению он расходится с требованиями программ по математике либо с возможностью совмещения теоретических занятий (алгебра, дифуры) с практическими (информатика, числ методы)
Поэтому когда я буду давать матрицы студентам, уж позабочусь, чтоб там были жордановы клетки и не одна