Вопрос о делимости (пять последовательных чисел кратны 480)

[pb_1989]

Батороев в сообщении #425811 писал(а):

Если $k$ - нечетное, рассмотрите аналогичным образом произведение двух четных чисел: $(k-1)(k+1)$.

это всё понятно! как из этого вы выходите на решение, я не пойму! вот, уже к тому же говорите о кратности 4-м...

ewert в сообщении #425818 писал(а):

Просто нет смысла перебирать именно остатки начального (допустим) сомножителя. Надо перебирать комбинации возможных троек или двоек остатков, а их совсем не так много

Это в смысле перемножить например первые три (две) скобки и рассмотреть их остаток?

[bot]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #425800 писал(а):

Остатки на 32 -- слишком долго и избыточно, т.к. заведомо есть минимум два чётных числа. На 8 и тем более на 4 -- недостаточно информативно (приходится ковыряться с дополнительными переборами). А на 16 -- в самый раз.

Давайте не будем распыляться и сконцентрируемся на одном способе перебора. На мой взгляд в самый раз будут остатки при делении на 4. И случаев мало и объединять некоторые случаи после решения не придётся, для ТС это ведь дополнительные мучения.

Среди первых четырёх множителей есть число, кратное четырём. Пусть оно занимает 1, 2, 3 или 4-е место.

bot в сообщении #425726 писал(а):

Ну пусть $k-2=4n$, тогда $k=4n+2,\ k+2=4n+4$, их произведение делится на $32$.
Пусть $k-1=4n$, тогда $k+1=4n+2$, остальные множители нечётны. Что надо, чтобы $4n\cdot(4n+2)$ делилось на $32$?

3) Пусть $k=4n$, тогда $k\mp 2=4n\mp 2$, остальные множители нечётны. Каким должен быть $n$, чтобы $(4n-2)\cdot 4n \cdot (4n+2)$ делилось на $32$?
4) Пусть $k+1=4n$, тогда ...

[pb_1989]

2) $4n(4n+2)+8n$ - это значит что $k-1=16n => k=16n+1$ так?

3) $k=8n$ а не $4n$ в таком случае делится делится на 32

4) $k+1=4n => k-1=4n-2$ остальные нечётные... значит чтоб разделилось на 32 должно быть $k=1=16n$

Это так, подгонкой уже написанных выше.
А если так то например 2) $4n(4n+2)+8n$ - это значит что при делении на 32 в остатке должно быть $8n$ => и как из этого прийти что $k-1=16n$
а не $k-1=4n$

[bot]

pb_1989 в сообщении #426064 писал(а):

2) $4n(4n+2)+8n$ - это значит что $k-1=16n => k=16n+1$ так?

Откуда взялось слагаемое $8n$? Спрашивалось, при каких $n$, число $4n\cdot (4n+2)=8n(2n+1)$ делится на $32$? Угадайте с трёх попыток:
а) при любых $n$
б) при чётных $n$
в) при $n$, кратных четырём.

Давайте разберёмся с этим, прежде чем перейдём к 3) и 4)

[pb_1989]

kak откуда? если к произведению $4n(4n+2)$ прибавить $8n$ то полученное число делится на 32. Разве не так? При кратном 4 :)

[TOTAL]

Вот новое революционное объяснение

$k=1\cdot(2n+1)$ - из таких для $k=16t \pm 1$, очевидно
$k=2\cdot(2n+1)$ - из таких для всех, очевидно
$k=4\cdot(2n+1)$ - из таких ни для каких, очевидно
$k=8\cdot(2n+1)$ - из таких для всех, очевидно
$k=16\cdot(2n+1)$ - из таких для всех, очевидно
$k=32\cdot(2n+1)$ - из таких для всех, очевидно

Итого
$k=16t \pm 1$
$k=2\cdot(2n+1)$
$k=8\cdot t$

[bot]

pb_1989 в сообщении #426086 писал(а):

если к произведению $4n(4n+2)$ прибавить $8n$ то полученное число делится на 32. Разве не так? При кратном 4 :)

Да, сумма делится на $32$ при любом $n$. А спрашивалось при каких $n$ делится на $32$ число перавое слагаемое?

[pb_1989]

bot в сообщении #426099 писал(а):

Да, сумма делится на $32$ при любом $n$. А спрашивалось при каких $n$ делится на $32$ число перавое слагаемое?

если это слагаемое кратно 32, то оно делится на 32, т.е при $n=2$ и что из этого

TOTAL в сообщении #426094 писал(а):

Вот новое революционное объяснение

$k=1\cdot(2n+1)$ - из таких для $k=16t \pm 1$, очевидно
$k=2\cdot(2n+1)$ - из таких для всех, очевидно
$k=4\cdot(2n+1)$ - из таких ни для каких, очевидно
$k=8\cdot(2n+1)$ - из таких для всех, очевидно
$k=16\cdot(2n+1)$ - из таких для всех, очевидно
$k=32\cdot(2n+1)$ - из таких для всех, очевидно

Итого
$k=16t \pm 1$
$k=2\cdot(2n+1)$
$k=8\cdot t$

Это для вас очевидно! Мне все очевидно и аналогично придётся доказывать!

-- Вт мар 22, 2011 20:08:49 --

Кажется до меня дошло.
А почему мы рассматривали кратные 4-м? Потому что $5!$?

[bot]

(Оффтоп)

По-моему он просто издевается.

[pb_1989]

bot премного благодарен, уж извините, до меня долго доходит. пока переписывал снова в чём-то засомневался...

[TOTAL]

(Оффтоп)

pb_1989 в сообщении #426143 писал(а):

bot премного благодарен, уж извините, до меня долго доходит. пока переписывал снова в чём-то засомневался...

Всё, bot сорвался с крючка, заманивайте кого-нибудь другого.

[pb_1989]

TOTAL, я кажется сказал что разобрался!

[bot]

pb_1989 в сообщении #426105 писал(а):

Кажется до меня дошло.

Сомнительно, судя по следующему вопросу:

pb_1989 в сообщении #426105 писал(а):

А почему мы рассматривали кратные 4-м? Потому что $5!$?