Вопрос о делимости (пять последовательных чисел кратны 480)

[pb_1989]

День добрый!
Такая задача: При каких $k$ выражение $(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)$
кратно 480?

получается что: $(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)=480=3*5*32$

пять последовательных чисел всегда делятся на 5, также это произведение делится на 3 и на 120 (т.к имеем фактически $5!$ ) => надо проверить делимость на 4 (Верно ли рассуждаю?)
Тогда при делении на 4 будут такие остатки: $4m, 4m+1, 4m+2, 4m+3$

Мне поясняли:
$k-2=4n$
$k-1=4n$
...

И каким то образом из этого получено $k=4n+2, k=16n+1, ... $
Я не понимаю каким образом. И как это связано с остатками!?
Помогите разобраться пожалуйста!

[bot]

До сих пор в непонятках?
Ну пусть $k-2=4n$, тогда $k=4n+2,\ k+2=4n+4$, их произведение делится на $32$.
Пусть $k-1=4n$, тогда $k+1=4n+2$, остальные множители нечётны. Что надо, чтобы $4n\cdot(4n+2)$ делилось на $32$?

[pb_1989]

$k-2=4n => k=4n+2 => k+2=4n+2+2=4n+4$ с этим понятно, а почему оно делится на 32?

Чтобы делилось надо к первому случаю свести, или как там, остаток какой?

[Sonic86]

Цитата:

$k-2=4n \Rightarrow k=4n+2 \Rightarrow k+2=4n+2+2=4n+4$ с этим понятно, а почему оно делится на 32?

А Вы подставьте и убедитесь в этом. Пусть Вас не смущают всяческие тройки в знаменателе - Вы проверяете делимость на 4, а она не зависит от делимости на 3.

(формулы)

наводите мышкой на формулы и вы увидите, как их писать

[pb_1989]

Да если подставить то понятно что делится! Но подставлять это же не обьяснение, но это ладно. Какой знаменатель? Где?

[Sonic86]

Цитата:

Да если подставить то понятно что делится! Но подставлять это же не обьяснение, но это ладно. Какой знаменатель? Где?

Ну объяснение Вы сами должны написать Вы последовательность своих действий видите? Вот смотрите
$480 | (k-2)(k-1)k(k+1)(k+2) \Leftrightarrow 4 | \frac{(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)}{5!}$
Вам надо проверить делится ли выражение справа на 4. Для этого Вы полагаете $k=4n+r$, перебирая все $r$. Подставив, вы должны упростить соотношение и у Вас получится 4 варианта для $n$, которые в целом дают необходимое и достаточное условие делимости. Это объяснение. Теперь делайте вычисления.

[pb_1989]

что черта эта значит? И сколько таких r перебирать?

[ewert]

В последовательности чётных чисел остатки от деления на 16 (считая для наглядности, что 0=16) расположены в таком порядке:

2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 16, 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 16, 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 16, ...

Если в пятёрке подряд идущих чисел два чётных, то одно из них обязательно делится на 16 (поскольку каждое второе из чётных чисел делится только на 2). Имеем два варианта: (16, 2) и (2, 16), т.е. $k-1=16n$ или $k+1=16n$, т.е. $k=16n\pm1$.

Если чётных чисел три, то одно из них обязано делиться на 8: (8, 2, 4), (2, 8, 2) и (4, 2, 8), т.е. $k-2=8n$, $k=8n$ или $k+2=8n$ (естественно, $8n$ может фактически оказаться и $16m$). Другими словами, $k=8n$ или $k=8n\pm2$. Последний вариант можно упростить до $k=4m+2$ ($k=8n-2$ получается при $m=2n-1$ и $k=8n+2$ -- при $m=2n$).

Итого: $k=16n\pm1$, $k=8n$ или $k=4n+2$.

[pb_1989]

Сначала мне предлагали остатки от деления на 32, потом на 8, потом на 4, теперь на 16 !

[ИСН]

Могу предложить остатки от деления на 2, 3 и 5. Последние остались. Дёшево.

[pb_1989]

Я не понимаю, вот мы рассматриваем $k=4n+2, k+2=4n+4$ их произведение (двух из пяти) делится на 32. Верно? То есть выполняется. Дальше что?
и почему собственно выбрали эти числа из пяти? Чтобы красиво разделилось?
Аналогично $k=4n+1, k+1=2n+2$
чтобы их произведение разделилось на 32 в остатке должно быть 8n. Так?

И что из всего этого?

-- Пн мар 21, 2011 23:56:09 --

ИСН в сообщении #425790 писал(а):

Могу предложить остатки от деления на 2, 3 и 5. Последние остались. Дёшево.

я понимаю что вам смешно тут, не грех посмеяться над дурачком так сказать, но я и правда не могу разобраться с этими остатками

[ewert]

pb_1989 в сообщении #425774 писал(а):

Сначала мне предлагали остатки от деления на 32, потом на 8, потом на 4, теперь на 16 !

Карел Чапек как-то писал(а):

- Вероятно, машина была коричневого цвета, - задумчиво произнес он. - Что-то коричневое там непременно было. Иначе откуда взялся бы Сингапур?
- Так, - сказал Мейзлик. - Другие свидетели говорили, что авто было синее, темно-красное и черное. Кому же верить?
- Мне, - сказал поэт. - Мой цвет приятнее для глаза.

Остатки на 32 -- слишком долго и избыточно, т.к. заведомо есть минимум два чётных числа. На 8 и тем более на 4 -- недостаточно информативно (приходится ковыряться с дополнительными переборами). А на 16 -- в самый раз.

[pb_1989]

Остатки получаются тогда $16m,...,16m+15$ при делении произведения на 16. Разве не так?

[Батороев]

Если $k$ - четное число, то рассмотрите произведение:
$$ (k-2)k(k+2)$, в котором:
-либо одно число $k$ имеет степень четности $2^1$ и тогда два других кратны $4$;
-либо два числа $(k-2); (k+2)$ имеют степень четности $2^1$ и тогда все зависит от $k$.

Если $k$ - нечетное, рассмотрите аналогичным образом произведение двух четных чисел: $(k-1)(k+1)$.

[ewert]

pb_1989 в сообщении #425802 писал(а):

Остатки получаются тогда $16m,...,16m+15$ при делении произведения на 16. Разве не так?

Просто нет смысла перебирать именно остатки начального (допустим) сомножителя. Надо перебирать комбинации возможных троек или двоек остатков, а их совсем не так много -- кроме тех пяти, которые я перечислил и которые дают нужный результат, присутствовать могут лишь явно не подходящие (2, 4), (4, 2), (2, 8), (8, 2) и (2, 4, 2). Ещё возможны (16, 2, 4), (2, 16, 2) и (4, 2, 16), но их описания поглощаются описаниями уже разобранных (8, 2, 4), (2, 8, 2) и (4, 2, 8).