Вопрос по двумерным пространствам Римана.

[dinaconst]

Не приведет ли кто пример (очень нужен!) двумерного пространства Римана, такого, что не через любую пару его точек можно провести геодезическую?

[scwec]

Плоскость с выколотой точкой и стандартной метрикой.

[dinaconst]

scwec в сообщении #419950 писал(а):

Плоскость с выколотой точкой и стандартной метрикой.

Спасибо, но хотелось бы чего-нибудь без дырок.

[scwec]

Извините. но геодезическая неполнота требует того, что мы имеем. Теорему Хопфа-Ринова пока никто не отменял.

[Vince Diesel]

Невыпуклая область на плоскости со стандартной метрикой.

[dinaconst]

Ну, я знаю два наглядных примера двумерных римановых пространств - сферу и плоскость. Но в этих пространствах, ведь, можно провести геодезическую линию через любые две точки? Хотелось бы чего-нибудь тоже гладенького и наглядного, но, чтобы не через любые.
А, что такое геодезическая неполнота? И я не поняла, чего она требует?
А, что такое невыпуклая область на плоскости?
Если можно, то объясните, пожалуйста, по-проще.

[scwec]

Ничего, к сожалению, добавить не могу. Вы спросили - я ответил. Дальше соображайте сами.
Вопрос - ответ.

[dinaconst]

scwec в сообщении #420058 писал(а):

Дальше соображайте сами.

Так, в этом-то и проблема!

[dinaconst]

scwec в сообщении #420058 писал(а):

Ничего, к сожалению, добавить не могу. Вы спросили - я ответил. Дальше соображайте сами.
Вопрос - ответ.

Вы же видите, что вопрос я поставила, очень и очень дилетантски. Примите, пожалуйста, это во внимание.
Я попробую, еще так подойти к тому, что меня интересует. Допустим, что есть какое-то двумерное риманово пространство, отличающееся от сферы тем, что в нем не через любые две точки можно провести геодезическую. Что в геометрии этого пространства должно быть "не так" по сравнению с геометрией сферы?

-- Пн мар 07, 2011 10:49:39 --

scwec в сообщении #419978 писал(а):

Извините. но геодезическая неполнота требует того, что мы имеем. Теорему Хопфа-Ринова пока никто не отменял.

Ага, я, кажется, поняла - сфера, это полное риманово многообразие, а та поверхность, о которой я говорю, неполное риманово многообразие. Видимо так?
Скорее всего, Вы ответите утвердительно. Исходя из этого предположения, я спрошу, еще так. Допустим, что для этой поверхности известен метрический тензор и все, что из него проистекает. Где, во всей этой информации, проявится то, что поверхность не представляет собой полного риманового многообразия? В каком "месте", это "проглянет"?

[Munin]

Сфера - двумерное риманово пространство, но не двумерное пространство Римана. Пространствами Римана принято называть более узкую вещь, в другой терминологии - эллиптические пространства (аналогично тому, как пространства Лобачевского - гиперболические). См. Математическую энциклопедию. Пожалуйста, не смешивайте одно название с другим.

[dinaconst]

Munin в сообщении #420276 писал(а):

Пожалуйста, не смешивайте одно название с другим.

Я обещаю постараться ничего не смешивать. Но Вы должны понимать, что мне, это не просто. Если Вы можете конструктивно поучаствовать в моем вопросе, то буду Вам признательна.

[Munin]

Чтобы запретить какие-то геодезические, вы должны выбросить какие-то точки, через которые эти геодезические проходят. Иначе никак. А тогда получаются "дырки".

[Padawan]

Munin в сообщении #420364 писал(а):

Чтобы запретить какие-то геодезические, вы должны выбросить какие-то точки, через которые эти геодезические проходят. Иначе никак. А тогда получаются "дырки".

Типичное рассуждение а-ля Ландау-Лифшиц .
Сказали же уже

Vince Diesel в сообщении #419982 писал(а):

Невыпуклая область на плоскости со стандартной метрикой.

[dinaconst]

Padawan в сообщении #420371 писал(а):

Munin в сообщении #420364 писал(а):

Чтобы запретить какие-то геодезические, вы должны выбросить какие-то точки, через которые эти геодезические проходят. Иначе никак. А тогда получаются "дырки".

Типичное рассуждение а-ля Ландау-Лифшиц .
Сказали же уже

Vince Diesel в сообщении #419982 писал(а):

Невыпуклая область на плоскости со стандартной метрикой.

А можно этот "междусобойчик" перевести на рельсы популярного объяснения? Я ставила такие (возможно, не очень грамотные, но, мне кажется, не лишенные смысла) вопросы. Допустим, что на некоторой поверхности не через любую пару точек можно провести геодезическую. Допустим, что для этой поверхности известено поле метрического тензора и все, что из него проистекает. Где, во всей этой информации, проявится то, что на этой поверхности существуют такие точки? В каком "месте", это "проглянет"?
Могу я получить популярное объяснение, чем замечательна, в контексте моих вопросов, эта самая "невыпуклая область на плоскости со стандартной метрикой"?

[Munin]

Padawan в сообщении #420371 писал(а):

Сказали же уже

А я сказал что-то другое?

dinaconst в сообщении #420424 писал(а):

Допустим, что на некоторой поверхности не через любую пару точек можно провести геодезическую.

За счёт чего? Рассмотрите два таких процесса:
1. Вы берёте произвольную линию между вашей парой точек, и постепенно "спрямляете" её до геодезической.
2. Вы берёте пару близких точек, соединяете её геодезической, и разводите её в положение вашей пары точек.
В какой момент и каким образом потерпит неудачу процедура 1? А процедура 2?

Вот когда вы это сделаете - вы увидите, что напоролись на край многообразия, выколотую точку, или другую подобную "дырку".

dinaconst в сообщении #420424 писал(а):

Допустим, что для этой поверхности известено поле метрического тензора и все, что из него проистекает.

Плюньте на "поле метрического тензора". Рассматривайте поверхность не с точки зрения координатного листа, а как будто она гладко вложена в многомерное плоское евклидово пространство. Вам тогда про метрику будет рассуждать проще.