Вопрос по двумерным пространствам Римана.

[dinaconst]

Munin в сообщении #420364 писал(а):

Чтобы запретить какие-то геодезические, вы должны выбросить какие-то точки, через которые эти геодезические проходят. Иначе никак. А тогда получаются "дырки".

Я не пытаюсь каким-то образом "запретить" какие-то существующие геодезические, например, на сфере.
Я говорю - давайте предположим, что есть такая поверхность, на которой не через любую пару точек можно провести геодезическую. И спрашиваю, себя и Вас, чему может противоречить существование такой поверхности?
Мне тут указали на теорему Хопфа-Ринова. Но я не поняла - эта теорема, запрещает или нет существование такой поверхности? И, если запрещает, то чем?

[Vince Diesel]

Статистика гугл знает все. В том числе что такое невыпуклое множество и теорема Хопфа-Ринова

[dinaconst]

Munin в сообщении #420438 писал(а):

dinaconst в сообщении #420424 писал(а):

Допустим, что на некоторой поверхности не через любую пару точек можно провести геодезическую.

За счёт чего?

Таким свойством, такой особенностью я рискнула "наделить" эту предполагаемую поверхность.

Цитата:

Вот когда вы это сделаете - вы увидите, ...

Вы считаете, что для выполнения поверхностью тех условий, которые я перед ней ставлю, она должна обладать этими самыми "дырками" и никакой другой возможности у поверхности нет. Так?

Цитата:

dinaconst в сообщении #420424 писал(а):

Допустим, что для этой поверхности известено поле метрического тензора и все, что из него проистекает.

Плюньте на "поле метрического тензора". Рассматривайте поверхность не с точки зрения координатного листа, а как будто она гладко вложена в многомерное плоское евклидово пространство. Вам тогда про метрику будет рассуждать проще.

Но принципиальной-то разницы, ведь, нет, вроде бы?

[Munin]

dinaconst в сообщении #420444 писал(а):

Я не пытаюсь каким-то образом "запретить" какие-то существующие геодезические, например, на сфере.Я говорю - давайте предположим, что есть такая поверхность, на которой не через любую пару точек можно провести геодезическую.

Вот чтобы предположить это как-то конструктивно, вам и надо запретить какие-то геодезические на поверхности, которую вы себе легко можете представить, и на которой, видимо, через любую пару точек можно провести геодезическую.

dinaconst в сообщении #420444 писал(а):

Мне тут указали на теорему Хопфа-Ринова. Но я не поняла - эта теорема, запрещает или нет существование такой поверхности? И, если запрещает, то чем?

А вы с формулировкой теоремы-то познакомились? Или только с названием?

-- 07.03.2011 23:48:40 --

dinaconst в сообщении #420479 писал(а):

Таким свойством, такой особенностью я рискнула "наделить" эту предполагаемую поверхность.

Вы пока ещё ничего не наделили. У вас же нету никакой явной поверхности.

dinaconst в сообщении #420479 писал(а):

Вы считаете, что для выполнения поверхностью тех условий, которые я перед ней ставлю, она должна обладать этими самыми "дырками" и никакой другой возможности у поверхности нет. Так?

Да.

dinaconst в сообщении #420479 писал(а):

Но принципиальной-то разницы, ведь, нет, вроде бы?

Разница в том, что рассуждать легче или сложнее. В одном случае ответ очевиден, в другом - затуманен донельзя.

[dinaconst]

Vince Diesel в сообщении #420459 писал(а):

Статистика гугл знает все. В том числе что такое невыпуклое множество и теорема Хопфа-Ринова

Вы хотите сказать, что Вы не гугл, а всего лишь Vince Diesel ? Допускаю!

[Munin]

dinaconst в сообщении #420484 писал(а):

Вы хотите сказать, что Вы не гугл, а всего лишь Vince Diesel ? Допускаю!

Не зарывайтесь, а попробуйте воспользоваться добрым советом.

[dinaconst]

Munin в сообщении #420481 писал(а):

dinaconst в сообщении #420444 писал(а):

Я не пытаюсь каким-то образом "запретить" какие-то существующие геодезические, например, на сфере.Я говорю - давайте предположим, что есть такая поверхность, на которой не через любую пару точек можно провести геодезическую.

Вот чтобы предположить это как-то конструктивно, вам и надо запретить какие-то геодезические на поверхности, которую вы себе легко можете представить, и на которой, видимо, через любую пару точек можно провести геодезическую.

Чего я этим добьюсь? То, что "изуродованная" сфера удовлетворит моим условиям не означает, ведь, что не существует "неизуродованной" поверхности, удовлетворяющей этим же условиям?

Цитата:

dinaconst в сообщении #420444 писал(а):

Мне тут указали на теорему Хопфа-Ринова. Но я не поняла - эта теорема, запрещает или нет существование такой поверхности? И, если запрещает, то чем?

А вы с формулировкой теоремы-то познакомились? Или только с названием?

Познакомилась. И с тем, и с другим. Но результат - выше.

Цитата:

dinaconst в сообщении #420479 писал(а):

Таким свойством, такой особенностью я рискнула "наделить" эту предполагаемую поверхность.

Вы пока ещё ничего не наделили. У вас же нету никакой явной поверхности.

Я и говорю - предполагаемую.

Цитата:

dinaconst в сообщении #420479 писал(а):

Вы считаете, что для выполнения поверхностью тех условий, которые я перед ней ставлю, она должна обладать этими самыми "дырками" и никакой другой возможности у поверхности нет. Так?

Да.

Возможно, Вы правы. Но, пока, это всего лишь, ваше мнение. Я не расстроюсь, если Вы приложите усилия и убедите меня в своей правоте, а наоборот.

-- Вт мар 08, 2011 01:59:47 --

Munin в сообщении #420491 писал(а):

dinaconst в сообщении #420484 писал(а):

Вы хотите сказать, что Вы не гугл, а всего лишь Vince Diesel ? Допускаю!

Не зарывайтесь, а попробуйте воспользоваться добрым советом.

Я не зарываюсь, просто у нас с Вами разные представления о "добрых советах".

[Munin]

dinaconst в сообщении #420530 писал(а):

Чего я этим добьюсь? То, что "изуродованная" сфера удовлетворит моим условиям не означает, ведь, что не существует "неизуродованной" поверхности, удовлетворяющей этим же условиям?

Означает. Любая поверхность с некоторым произвольно заданным полем метрического тензора (достаточно гладким) вложима (столь же гладко) в плоское евклидово пространство более высокой размерности. Так что вы можете рассматривать именно сферу, или что вам там угодно, и уродовать их - вы не пропустите каких-то вариантов, доступных в другой формулировке.

dinaconst в сообщении #420530 писал(а):

Я не зарываюсь, просто у нас с Вами разные представления о "добрых советах".

Ваше пока несовершенно :-)

[dinaconst]

Munin в сообщении #420659 писал(а):

dinaconst в сообщении #420530 писал(а):

Чего я этим добьюсь? То, что "изуродованная" сфера удовлетворит моим условиям не означает, ведь, что не существует "неизуродованной" поверхности, удовлетворяющей этим же условиям?

Означает. Любая поверхность с некоторым произвольно заданным полем метрического тензора (достаточно гладким) вложима (столь же гладко) в плоское евклидово пространство более высокой размерности.

Это мне известно.

Цитата:

Так что вы можете рассматривать именно сферу, или что вам там угодно, и уродовать их - вы не пропустите каких-то вариантов, доступных в другой формулировке.

Могу, но мне это не нужно. И мне нужны не "соображения на предмет", а мне нужна формулировка математического закона, не позволяющего "неизуродованным" поверхностям иметь такие точки, через любую пару которых нельзя провести геодезическую.
Либо Вы проговариваете мне эту формулировку, либо давайте подождем, может кто-нибудь откликнется на мои нужды.

Цитата:

dinaconst в сообщении #420530 писал(а):

Я не зарываюсь, просто у нас с Вами разные представления о "добрых советах".

Ваше пока несовершенно

Пусть таким и останется.

[Munin]

dinaconst в сообщении #420677 писал(а):

мне нужна формулировка математического закона, не позволяющего "неизуродованным" поверхностям иметь такие точки, через любую пару которых нельзя провести геодезическую.

scwec в сообщении #419978 писал(а):

Теорему Хопфа-Ринова пока никто не отменял.

dinaconst в сообщении #420677 писал(а):

Либо Вы проговариваете мне эту формулировку, либо давайте подождем, может кто-нибудь откликнется на мои нужды.

Вы можете сами откликнуться на свои нужды: открыть учебник и прочитать материал, на который вам неоднократно указали. Но вы напрасно ждёте, что здесь кто-то будет вам что-то разжёвывать и в рот класть, так что вы сможете не совершать совсем никаких умственных усилий. Здесь сочувствуют людям, стремящимся к образованию, знаниям и пониманию, но не любят лентяев и нахалов. По мере того, как вы меняете тон, и продолжаете настаивать, чтобы вам помогли, сами не совершая никаких усилий, ваши шансы на получение помощи падают до нуля.

[dinaconst]

Munin в сообщении #420695 писал(а):

dinaconst в сообщении #420677 писал(а):

мне нужна формулировка математического закона, не позволяющего "неизуродованным" поверхностям иметь такие точки, через любую пару которых нельзя провести геодезическую.

scwec в сообщении #419978 писал(а):

Теорему Хопфа-Ринова пока никто не отменял.

dinaconst в сообщении #420677 писал(а):

Либо Вы проговариваете мне эту формулировку, либо давайте подождем, может кто-нибудь откликнется на мои нужды.

Вы можете сами откликнуться на свои нужды: открыть учебник и прочитать материал, на который вам неоднократно указали. Но вы напрасно ждёте, что здесь кто-то будет вам что-то разжёвывать и в рот класть, так что вы сможете не совершать совсем никаких умственных усилий. Здесь сочувствуют людям, стремящимся к образованию, знаниям и пониманию, но не любят лентяев и нахалов. По мере того, как вы меняете тон, и продолжаете настаивать, чтобы вам помогли, сами не совершая никаких усилий, ваши шансы на получение помощи падают до нуля.

Думаю, что мне лучше подождать дельных ответов.

[Munin]

Ну сидите ждите.

[scwec]

Для dinaconst: я думаю Ваш вопрос можно закрыть следующим образом:
Пусть вы имеете "не исковерканное" и "гладенькое" связное двумерное риманово многообразие, две точки которого не соединяются геодезической.
И Вам кажется, что причина этого лежит в структуре метрического тензора. Но нет.
Мощь теоремы Хопфа-Ринова и заключается в том, что она ставит знак тождества между геодезической полнотой и чисто топологическими свойствами самого риманова пространства, а именно: сходимостью каждой фундаментальной последовательности его точек - свойством, которое просто проверяется.
Ведь согласитесь: без этой теоремы Вам пришлось бы исследовать и даже пытаться решать нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка, содержащие коэффициентами символы Кристоффеля.
Повторю еще раз, причины того, что точки не соединяются геодезической- это чисто топологические причины, а не значения символов Кристоффеля, выражающихся через компоненты метрического тензора и его частные производные.
А теперь, если познакомиться поближе с топологической классификацией двумерных многообразий, то Вы увидите, что любимые слова здесь - это вырезка дыр в сфере, приклеивание ручек и т.д., да еще и похуже, потому, что все связные компактные римановы пространства полны. Вот это и будут Ваши "не исковерканные" и "гладенькие" поверхности. После этого Вы должны понять, что плоскость с выколотой точкой - манна небесная, лучше и не бывает.
Вот это я и имел в виду, когда написал, что теорему Хопфа-Ринова никто не отменял.

[dinaconst]

scwec в сообщении #421145 писал(а):

Для dinaconst: я думаю Ваш вопрос можно закрыть следующим образом:
Пусть вы имеете "не исковерканное" и "гладенькое" связное двумерное риманово многообразие, две точки которого не соединяются геодезической.
И Вам кажется, что причина этого лежит в структуре метрического тензора. Но нет.
Мощь теоремы Хопфа-Ринова и заключается в том, что она ставит знак тождества между геодезической полнотой и чисто топологическими свойствами самого риманова пространства, а именно: сходимостью каждой фундаментальной последовательности его точек - свойством, которое просто проверяется.
Ведь согласитесь: без этой теоремы Вам пришлось бы исследовать и даже пытаться решать нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка, содержащие коэффициентами символы Кристоффеля.
Повторю еще раз, причины того, что точки не соединяются геодезической- это чисто топологические причины, а не значения символов Кристоффеля, выражающихся через компоненты метрического тензора и его частные производные.
А теперь, если познакомиться поближе с топологической классификацией двумерных многообразий, то Вы увидите, что любимые слова здесь - это вырезка дыр в сфере, приклеивание ручек и т.д., да еще и похуже, потому, что все связные компактные римановы пространства полны. Вот это и будут Ваши "не исковерканные" и "гладенькие" поверхности. После этого Вы должны понять, что плоскость с выколотой точкой - манна небесная, лучше и не бывает.
Вот это я и имел в виду, когда написал, что теорему Хопфа-Ринова никто не отменял.

Я очень Вам признательна за подробный ответ. Я, правда, не связывала свои непонятки со структурой метрического тензора. Я их ни с чем не связывала. Последний мой дилетантский вопрос. Значит, теорема Х.-Р. предполагает определенное топологическое устройство (я, по дилетантски, этого, конечно, из формулировки теоремы не уловила) того риманова многообразия, к которому относятся утверждения этой теоремы и, если у меня перед глазами есть риманово многообразие, в котором не через любые две точки и т.д., то причину следует искать в топологических особенностях этого многообразия? Теперь я правильно понимаю?
Заранее благодарю за ответ.

[scwec]

Для dinaconst: надеюсь, что правильно понимаете.