ВТФ и дискретная геометрия

[serval]

Таким образом, доказательство ВТФ свелось к рассмотрению распределения целых точек на гиперсфере радиуса $R=\sqrt{3}$.
Но как это сделать я не знаю.

[serval]

А есть ли способы представить куб суммой кубов (более двух), четвертую степень - суммой четвертых, пятую - пятых и т.д.? Или, хотя бы, гипотезы? Нужно проверить одну мысль.

[Nilenbert]

Есть конечно, $3^3+4^3+5^3=6^3$, $95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4$. Гипотез тоже полно, смотрите тут: http://euler.free.fr/

[serval]

Я извиняюсь за невнятный вопрос.
Пусть дано число $k^n$, где $k$ и $n$ - натуральные. Сколькими способами его можно представить в виде суммы $n$-х степеней различных натуральных чисел?
К примеру, можно ли представить квадрат суммой трех квадратов? А четырех? А куб суммой трех кубов?
Есть ли формулы для таких представлений?

[serval]

Имеется множество $N$-мерных векторов таких, что в каждом из них лишь $3$ элемента равны $1$, а остальные равны $0$.
Есть ли способ разбить это множество на подмножества такие, что каждое из них объединяет векторы принадлежащие одной гиперплоскости?

[serval]

Концы указанных векторов лежат на $N+1$-мерной гиперсфере радиуса $R=\sqrt 3$ и можно указать, минимум, два требуемых подмножества (концы принадлежащих им векторов лежат на $N$-мерных окружностях). Можно ли указать другие подмножества?

[serval]

Я все думаю, как сделать задачу наглядной. Чтобы стало интересно. Может быть, так?

Есть $N$-мерный вектор $\vec n_0=(1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1\dots)$ и есть линейный оператор $A_1$, результатом действия которого на вектор $\vec n_0$ является вектор $\vec n_1=(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\dots)$. Действие же оператора $A_1$ на вектор $\vec n_1$ дает вектор $\vec n_2=(1,\ 2^2,\ 3^2,\ 4^2,\ 5^2\dots)$. И так далее.
Проще говоря, $A_1\vec n_i=\vec n_{i+1}$.
Или так $A_1^{i}\vec n_0=\vec n_i$.
Или вот как: действие степеней оператора $A_1$ на вектор $\vec n_0=(1^0,\ 2^0,\ 3^0,\ 4^0,\ 5^0\dots)$ порождает векторы $\vec n_1=(1^1,\ 2^1,\ 3^1,\ 4^1,\ 5^1\dots)$, $\vec n_2=(1^2,\ 2^2,\ 3^2,\ 4^2,\ 5^2\dots)$, $\vec n_3=(1^3,\ 2^3,\ 3^3,\ 4^3,\ 5^3\dots)$ и так далее.
Требуется рассмотреть сечение гиперсферы размерности $N+1$ с центром в начале координат такой, что ее поверхность содержит целые точки имеющие лишь три ненулевых координаты со значениями $\pm 1$, гиперплоскостями нормальными векторам $\vec n_0,\ \vec n_1,\ \vec n_2,\ \vec n_3,\ \dots$
Если ВТФ верна, то через указанные точки (точнее, через некоторые их подмножества) пройдут лишь два сечения - гиперплоскоскостями нормальными векторам $\vec n_1$ и $\vec n_2$.

Неужели не интересно?

P.S. К слову, а как будут распределены эти точки по гиперокружностям в каждом из двух случаев?

[serval]

Вот и новая мысль. И опять проще предыдущей, хоть каждый раз кажется, что проще уже некуда. Либо опять тривиальная ошибка. По некоторым причинам, сейчас я не имею возможности посчитать, поэтому прошу сделать это за меня (конечно, если это вообще потребуется). Итак.

Для примера, возьмем вектор $\vec n_5^1=(5,4,3,2,1)$ и, посмотрев на его скалярные произведения с векторами $\vec g_{11}=(-1,1,0,0,1)$ и $\vec g_{12}=(-1,0,1,1,0)$, увидим, что $1+4=5$ и $2+3=5$. Таким образом, векторы $\vec g_{s1}$ и $\vec g_{s2}$ принадлежат гиперплоскости нормальной вектору $\vec n_5^1$.
Но ведь мы легко можем выписать и другие целые векторы (по аналогии с целыми точками) принадлежащие этой гиперплоскости:

$(-1,0,0,0,5),\ (-2,0,0,5,0),\ (-3,0,5,0,0),\ (-4,5,0,0,0),\ (0,-1,0,0,4)$,
$(0,-2,0,4,0),\ (0,-3,4,0,0), (0,0,-1,0,3),\ (0,0,-2,3,0),\ (0,0,0,-1,2)$.

Так много нам не нужно, ведь любой из векторов этой гиперплоскости может быть представлен линейной комбинацией всего $4$ других. Нас интересует возможность такого представления векторов $\vec g_{11}$ и $\vec g_{12}$.
Если все сказанное верно, то матрица составленная из любых четырех двузначных (по числу ненулевых компонентов) и одного трехзначного ($\vec g_{11}$ или $\vec g_{12}$) векторов будет иметь определитель равный нулю. Если же в качестве трехзначного будет взят вектор $(-1,1,0,1,0),\ (-1,1,1,0,0),\ (-1,0,1,0,1)$ или $(-1,0,0,1,1)$, то определитель такой матрицы будет отличен от нуля.
Пожалуйста, проверьте.

А теперь нужно проделать все то же самое (построить двузначные векторы и посчитать определители) с векторами $\vec n_5^2=(5^2,4^2,3^2,2^2,1^2)$ и $\vec g_{21}=(-1,1,1,0,0)$ чтобы проверить является ли вектор $\vec g_{21}$ единственным трехзначным вектором обращающим определители матриц в ноль.

Если бы все получилось, то было бы интересно привести вырожденные матрицы (для обеих степеней) к наиболее простому виду и поискать закономерности.

[serval]

Ну просто же все! Если не хотите считать, то просто скажите - ошибся я в рассуждениях или нет?

[serval]

Далее: нужно посмотреть сечение гиперсферы радиуса $R=\sqrt3$ гиперплоскостями отстоящими от начала координат на $1$.

[serval]

Итак, ВТФ свелась к расстановке целых точек на гиперокружностях расположенных под углом к началу координат. С центром ли в нем - пока вопрос.
Есть ли результаты в этой области?
Пытаюсь читать "Квадратичные формы данные нам в ощущениях". Пробую применить графы. Но совсем нет времени.

[serval]

Пожалуйста, подскажите можно ли упростить формулу (исключить из нее факториалы от факториалов) для вычисления биномиального коэффициента $C_n^k$ где $n=C_N^3$ и $k=(N-1)$?

[serval]

Наверное, еще один пост самому себе.
Очень короткое промежуточное обобщение.

Ограничимся некоторой размерностью, например, $N=11$. Рассмотрим вектор нормали гиперплоскости $\vec n_1=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)$.
Тогда:
1. Множество векторов вида $(0,1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0)$ где номер позиции компонента со значением $-1$ равен сумме номеров позиций двух компонентов со значениями $1$, а остальные компоненты имеют значения $0$, принадлежит этой гиперплоскости.
2. Каждый из указанных векторов определяет $3$-мерную вершину $11$-мерного гиперкуба со стороной равной $2$ и центром в начале координат (но не каждая $3$-мерная вершина определяется таким вектором).
3. Каждый из указанных векторов определяет целую точку на $11$-мерной гиперокружности принадлежащей этой гиперплоскости.

Вопрос: Является ли сечение данного гиперкуба данной гиперплоскостью правильным многоугольником?

Далее.
Подействуем линейным оператором $B$ на вектор $\vec n_1$ и получим вектор нормали другой гиперплоскости $\vec n_2$.

Вопрос: Пересечет ли новая гиперплоскость прежний гиперкуб в каких-либо $3$-мерных вершинах?

[Kallikanzarid]

serval в сообщении #435606 писал(а):

Пытаюсь читать "Квадратичные формы данные нам в ощущениях".

Убило

[serval]

Что именно убило? Хорошая книга и издатель солидный - http://biblio.mccme.ru/node/1931.