Почему у нормального распределения такая функция?

[jrMTH]

т.е. как получили вот это? как это доказывается?

[ShMaxG]

jrMTH в сообщении #419884 писал(а):

т.е. как получили вот это

Выдумали. По определению. Случайная величина с нормальным распределением по определению обладает вот такой функцией плотности.

Дело в том, что

Википедия писал(а):

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа случайных помех, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из его названий).

[jrMTH]

Цитата:

Выдумали. По определению. Случайная величина с нормальным распределением по определению обладает вот такой функцией плотности.

Хорошо, а как выдумывали? Я думаю, что вначале получили график, а потом как-то под него функцию придумывали, так ли?
т.е. мне интересно как эта функция раскладывается? за что отвечает каждый компонент: как каждый компонент влияет на отрисовку.

[ShMaxG]

jrMTH в сообщении #419895 писал(а):

Я думаю, что вначале получили график, а потом как-то под него функцию придумывали

Лично мне кажется такой подход очень странным. Точно не знаю, может быть люди тупо заметили, что сумма независимых одинаково-распределенных случайных величин (см. формулировку ЦПТ) стремится по распределению к одному и тому же. И так же тупо попытались вычислить. И получили. Но не из графика.

[Joker_vD]

Насколько я помню, Гаусс начал с того, что в качестве результата измерения берется среднее арифметическое измерений, и высчитывал вероятность ошибки при измерении — чтобы метод средних арифметических был "наиболее вероятным", ошибка должна была быть распределена по тому закону, который позднее назвали нормальным.

ЦПТ же были открыты почти на сто лет позже.

[jrMTH]

Че-то я вообще не врубился. Как тут ЦПТ завязана?
Мне просто интересно почему норм. распределине получается именно из этой формулы.
Ведь формула имеет компоненты...

[ShMaxG]

Еще раз.

ShMaxG в сообщении #419886 писал(а):

По определению. Случайная величина с нормальным распределением по определению обладает вот такой функцией плотности.

Это определение нормальной случайной величины.

[jrMTH]

ShMaxG в сообщении #419912 писал(а):

Еще раз.

ShMaxG в сообщении #419886 писал(а):

По определению. Случайная величина с нормальным распределением по определению обладает вот такой функцией плотности.

Это определение нормальной случайной величины.

нет, я это понял. у меня такой к вам вот вопрос: вы когда на эту функцию смотрите, вы её чувствуете? вы чувствуете к чему там 2 пи умноженное на дисперсию и какой это вносит вклад в то куда функция при отрисовке пойдет: вниз или вверх?

[ShMaxG]

Аа, понятно. Максимум очевидно достигается при $x=\mu$. В обе стороны так же очевидно функция убывает. А всякие корни из двух пи -- чисто для нормировки. Ведь интеграл от этой функции по всей оси должен быть равен 1.

[jrMTH]

Цитата:

А всякие корни из двух пи -- чисто для нормировки.

это как?


$Ведь интеграл от этой функции по всей оси должен быть равен 1.$
А причем здесь интеграл?

[ShMaxG]

Ну функция плотности каким свойством обладает? $\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( x \right)dx = 1} \]$. Без $\sqrt{2\pi}$ в знаменателе такого не получится.

[jrMTH]

ShMaxG в сообщении #419920 писал(а):

Ну функция плотности каким свойством обладает? $\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( x \right)dx = 1} \]$. Без $\sqrt{2\pi}$ в знаменателе такого не получится.

почти ничего не понимаю. что посоветуете почитать?

[ShMaxG]

Ну как же как же как же, так же. В любом ученике по теорверу. Смотрите определение функции плотности распределения. Да хоть в Википедии: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F.
В нашем примере в точности $\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1} {{\sqrt {2\pi {\sigma ^2}} }}{e^{ - \frac{{{{\left( {x - \mu } \right)}^2}}} {{2{\sigma ^2}}}}}dx} = 1\] $.

[profrotter]

Давайте на вещи смотреть проще (без меры Леберга и борелевской алгебры по-возможности), если не возражаете.
Случайная величина $X$ характеризуется функцией распределения вероятностей:

$$F(x)=P(X<x),$$

которая представляет собой вероятность того, что случайная величина $X$ принимает значение меньшее, чем х. Вероятность того, что $X$ принимает значение большее, чем х, равна:

$$P(X>x) = 1 - P(X<x)=1-F(x),$$

(так как X<x и X>x - полная группа событий).
Вероятность того, что случайная величина принимает значение $a<X<b$ равна:

$$P(a<X<b) =(1-(P(X<a)+P(X>b))) =1-(F(a)+1-F(b))=F(b)-F(a).$$

Плотность распределения вероятности является производной от функции распределения вероятностей (в некоторых учебниках это является её определением):

$$f(x) =\frac {dF(x)} {dx}.$$

Это означает, что

$$P(a<X<b) =F(b)-F(a)=\int\limits_a^b f(x) dx.$$

Вероятность того, что случайная величина примет хоть какое-нибудь значение равна единице (ибо является вероятностью достоверного события), то есть:

$$P(-\infty<X<+\infty) =F(b)-F(a)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx =1.$$

Именно этот факт и выражает условие нормировки.

А что читать? Читайте для начала тётушку Е.С.Венцель "Теория вероятностей". Там всё по-простому и для военных. Понимаете... для военных!

[faruk]

Цитата:

Почему у нормального распределения такая функция?

http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_dis ... on#History