Давайте на вещи смотреть проще (без меры Леберга и борелевской алгебры по-возможности), если не возражаете.
Случайная величина
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
характеризуется функцией распределения вероятностей:
![$$F(x)=P(X<x),$$ $$F(x)=P(X<x),$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/7/2c7ec50b20fe24f88377738f0bb3eb1b82.png)
которая представляет собой вероятность того, что случайная величина
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
принимает значение меньшее, чем
![х х](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/e/ade7a0dcf4ddc0673ed48b70a4a340d682.png)
. Вероятность того, что
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
принимает значение большее, чем
![х х](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/e/ade7a0dcf4ddc0673ed48b70a4a340d682.png)
, равна:
![$$P(X>x) = 1 - P(X<x)=1-F(x),$$ $$P(X>x) = 1 - P(X<x)=1-F(x),$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/d/21d2359b5a78a603019852772eeafa6482.png)
(так как
![X<x X<x](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/4/c94487989f4cfe7ae68966b52bbfb86182.png)
и
![X>x X>x](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/c/a5ced9da9c5c59755e7243f9c8533f3682.png)
- полная группа событий).
Вероятность того, что случайная величина принимает значение
![$a<X<b$ $a<X<b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/1/381033466326dff368b66a205fd4de8b82.png)
равна:
![$$P(a<X<b) =(1-(P(X<a)+P(X>b))) =1-(F(a)+1-F(b))=F(b)-F(a).$$ $$P(a<X<b) =(1-(P(X<a)+P(X>b))) =1-(F(a)+1-F(b))=F(b)-F(a).$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/7/787837bf4eb62450344b71a52590411582.png)
Плотность распределения вероятности является производной от функции распределения вероятностей (в некоторых учебниках это является её определением):
![$$f(x) =\frac {dF(x)} {dx}.$$ $$f(x) =\frac {dF(x)} {dx}.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/3/d73bac4f16b2079d414259c0da35c5de82.png)
Это означает, что
![$$P(a<X<b) =F(b)-F(a)=\int\limits_a^b f(x) dx.$$ $$P(a<X<b) =F(b)-F(a)=\int\limits_a^b f(x) dx.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/2/cb2b42b63e68822974a34e3243e97f0082.png)
Вероятность того, что случайная величина примет хоть какое-нибудь значение равна единице (ибо является вероятностью достоверного события), то есть:
![$$P(-\infty<X<+\infty) =F(b)-F(a)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx =1.$$ $$P(-\infty<X<+\infty) =F(b)-F(a)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx =1.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/9/ef906318619999a7dbbcaebd90410c9782.png)
Именно этот факт и выражает условие нормировки.
А что читать? Читайте для начала тётушку Е.С.Венцель "Теория вероятностей". Там всё по-простому и для военных. Понимаете... для военных!