Экватор и мышь...

[Derinaiborory]

Предположим, что земной шар по экватору плотно обтянут веревкой. Длину веревки увеличили на 1м. Образовавшийся зазор равномерно распределен по экватору. Сможет ли в этот зазор прошмыгнуть мышь? Земля принимается за идеально гладкий шар, никаких подкопов и неровностей поверхности быть не может; веревка принимается за нерастягиваемую).
По формуле окружности получается что зазор будет примерно 16 см равномерный по всему экватору... Но мозг отказывается в это верить... Если к примеру натянуть в одном месте и свернуть эту новую часть веревки в новый круг с длинной окружности в метр то получается небольшой кружок, но если не натягивать то новая добавочная площадь получается в тысячи раз больше. Как такое возможно? Где ошибка? И есть ли она ?

[Утундрий]

Derinaiborory в сообщении #419383 писал(а):

мозг отказывается в это верить...

А он и не должен верить, он должен думать. Заставьте его это сделать (предварительно вооружившись таблицей умножения, формулой длины окружности и логарифмической линейкой) и будет Вам счастье.

[ИСН]

В математике есть много вещей, в которые трудно поверить. Помню, как меня при первом знакомстве возмутила формула объёма шара: почему, откуда эти уродливые 4/3? Как так? Это что же, значит, всё позволено? Режь, убивай, души гусей?
- - - - - -
Потом как-то прошло.

[ewert]

Derinaiborory в сообщении #419383 писал(а):

Если к примеру натянуть в одном месте и свернуть эту новую часть веревки в новый круг с длинной окружности в метр то получается небольшой кружок, но если не натягивать то новая добавочная площадь получается в тысячи раз больше. Как такое возможно? Где ошибка? И есть ли она ?

Вас подводит инстинкт. Площадь непосредственно никак не связана с периметром, и вот как раз это -- конкретный пример.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #419390 писал(а):

Площадь непосредственно никак не связана с периметром

Ну да, мы же кусок верёвки подсовываем, а не воздух вдуваем в зазор

(Оффтоп)

Или как там... Почему колёса у поезда круглые, но стучат? Потому что площадь круга равна $\pi r^2$, вот эр квадрат и стучит!

[Derinaiborory]

хм.... а если оттягивать в одном месте взявшись за 1 конкретную точку, какая примерно высота подлаза получится?

[caxap]

У меня получилось $\approx 122\text{ см}$.

[gris]

А нетрудно посчитать, правда, только численно. Получится дуга плюс две касательные. Уравнение с углом и его тангенсом. Найдём угол, найдём и его косинус.
У меня получилось ... Не могу на этом калькуляторе считать. Каждый раз разное...

[Joker_vD]

caxap
Это как, больше чем длина добавленной веревки?

[ИСН]

Joker_vD, это не критерий вообще. Пусть, к примеру, Земля квадратная; ухватимся посередине одной стороны и будем оттягивать. Оттянем на 0.01 стороны; на сколько при этом удлиннится верёвка?

[caxap]

(Мистика)

Я решал так:



Обозначим $h:=BC$. Из $\triangle OAB$ по теореме Пифагора $AB=\sqrt{(R+h)^2-R^2}$, где $R=6{,}4\cdot 10^6\text{ м}$. $AC=R\alpha=R\arccos\frac{R}{R+h}$. Но $AB=AC+\frac 12$ м. Из уравнения выражаем $h\approx 121{,}645\text{ м}$ (метра! я в прошлом посте опечатался, написав "см"). Что я сделал не так?

Уравнение решал численно на компе (Mathematica, FindRoot). Но вроде там нигде не ошибся..

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #419438 писал(а):

У меня получилось ... Не могу на этом калькуляторе считать. Каждый раз разное...

gris, возьмите другой куркулятор. Может, там и синусы другие.

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Кулькулятор не обязательно. Кто живёт в Москве — можно съездить в Дом Книги за Перельманом. Я вот порылся на полке — опять, похоже, спёрли. Там ответ был написан. Перещитывать лень...

[ИСН]

(Оффтоп)

Так caxap приобрёл опыт формульного шока, описанного мной в первом сообщении в теме. Небо рушится на землю! Не может быть! Но ведь всё вроде правильно? За что, почему? А-а-а, режь, убивай...

[Joker_vD]

Кстати, а какая там площадь образовывается этим $ABDC$? Мне сдается, что должно получаться что-то около $S=6{,}4\cdot 10^6\text{ м}^2$