Задача про катушку

[ewert]

vek88 в сообщении #419369 писал(а):

Катушка может катиться в любую сторону, например, я ее качу куда мне вздумается.

Конечно. Но если Вы вздумаете покатить её, например, вправо, натягивая нить под углом, при котором она катится влево -- уверяю Вас, влево она и покатится, как бы Вам ни хотелось вправо.

Перечитывайте предыдущие сообщения, прежде чем возражать.

[vek88]

ewert в сообщении #419382 писал(а):

vek88 в сообщении #419369 писал(а):

Катушка может катиться в любую сторону, например, я ее качу куда мне вздумается.

Конечно. Но если Вы вздумаете покатить её, например, вправо, натягивая нить под углом, при котором она катится влево -- уверяю Вас, влево она и покатится, как бы Вам ни хотелось вправо.

Перечитывайте предыдущие сообщения, прежде чем возражать.

И все-таки кинематика, Ватсон - кинематика.

Во-первых, я говорил об условии задачи, в котором нить расположена горизонтально.

Во-вторых, если уж Вы хотите держать нить под углом, так и держите, т.е. поддерживайте ее под этим углом, не мешая мне катить катушка куда мне вздумается. А ответ Вы получите из элементарной тригонометрии, т.е. из кинематики опять же.

Впрочем, я согласен с Вами в том, что Ваш метод проще. Однако представьте себе, что человек пока еще учит кинематику, а Вы ему предлагаете использовать момент силы. ИМХО это как-то не очень педагогично.

Или, если нить горизонтальна и конец нити по условию задачи перемещается в сторону катушки? Как в этом случае объяснять студенту Ваш метод? Ведь придется объяснять куда я приложил свою силу к катушке?

Так что я бы рекомендовал Ваш метод, тем кто его понимает, как полезную догадку для самопроверки по поводу знака скорости. И это, несомненно, очень полезно, поскольку, как показывает данная тема, здесь легко ошибиться.

А решать задачу - никуда от этого не денешься - надо чисто кинематически.

[Alfucio]

Извините, пожалуйста, долго не имел возможности написать.

Благодарю за подтверждения правильности рассуждения преподавателя, объяснения и раскрытия истины и моих заблуждений :).

Мы на семинаре задачу решали через мгновенный центр скоростей: определили скорость в точке A (совпадает со скоростью в точке B).

Тогда

$$\omega = \frac{u}{R - r}$$

и

$$v = R\omega = u\frac{R}{R-r}$$

И на практике провел эксперимент тоже, также катится вправо :).

[vek88]

Вот и славно, что разобрались с понятием мгновенного центра вращения. Но старайтесь проверять себя и другими методами, в частности, совсем на пальцах, например, в post419278.html#p419278 вообще ничего не понадобилось кроме знания длины окружности заданного радиуса. Навыки подобных элементарных проверок оказываются очень полезными (и на экзамене, и в реальной жизни).

Другими словами, если есть возможность решить задачу двумя или более методами, это всегда полезно сделать. Совпадение результатов - это хорошо, а несовпадение - сигнал для поиска ошибки в Ваших рассуждениях.

[Батороев]

Графически решение выглядит следующим образом:
Отложите вправо от т. $A$ вектор, равный по модулю $u$, и проведите через его конец и т. $P$ (мгновенный центр скоростей) прямую. Точку пересечения этой прямой и горизонтали, проходящей через т. $O$ обозначьте через $V$. Отрезок $OV$ - и будет вектором искомой скорости.

-- 06 мар 2011 18:20 --

Для закрепления материала предлагаю рассмотреть, что получится, если $r>R$?

[Alfucio]

vek88, согласен с Вами. Благодарю участников дискуссии, в том числе Вас и ewert, за разные предложенные варианты рассмотрения ситуации. Самая моя главная проблема в том, что я себе представлял, что катушка катится влево, я долго не мог поверить, что она покатится вправо :).

Батороев, да, мы как раз так и делали на семинаре, в том числе проводили эпюры скоростей (если я правильно это называю). Подскажите, пожалуйста (не совсем понимаю), как $r$ может быть больше $R$, ведь тогда нить будет «волочиться» по земле?

[Gravist]

Ненамотанный на катушку, "волочащийся", конец нити просто не рассматривайте, устремите его длину к $0$.

(Оффтоп)

Тогда он мешать не будет и не испачкается

[Alfucio]

Извините, пожалуйста, я просто не представляю, как будет происходить движение, ведь мы будем «тянуть» за самую нижнюю точку катушки, а так как проскальзывания нет, то сможем ли мы ее сдвинуть вообще? Или, возможно, я просто опять себе что-то не так представляю?

[gris]

Нет, там строгое неравенство. Ну как будто катушка стоит на приподнятых рельсах, опираясь на них широкой осью.

[Alfucio]

gris, спасибо, благодаря Вашему представлению наконец смог представить себе конструкцию :).

Если я правильно понимаю, можно также решить через мгновенный центр скоростей (точку P, которая будет совпадать с точкой, в которой катушка касается «рельса»?).

Тогда $\omega = u\frac{1}{r-R}$.

И искомая скорость $V = u\frac{R}{r-R}$. При этом она будет направлена в противоположную сторону, то есть если «тянем» вправо, то катушка будет катиться влево.

[dovlato]

Эверт прав (кстати, как и преподаватель)). Рассматривать следует момент силы натяжения нити именно относительно нижней точки, и не иначе. А кому хочется выбрать какую-то иную - да пожалуйста! Теория этого, разумеется, не запрещает; однако тогда будьте добры учесть ещё и момент, создаваемый реакцией опоры в нижней точке относительно выбранной вами точки.

[dovlato]

Основной физический постулат непреложен: движение начинается исключительно за счёт работы внешней силы. Отсюда общий вывод: тот конец нити, за который её тянут - должен двигаться именно в направлении этой силы, то-есть, по чертежу, вправо-вверх. Пусть угол наклона нити к горизонтали есть $\alpha$. Предположим, катушка повернулась, для определённости, по часовой стрелке на угол $d\varphi$.
Тогда свободный конец катушки, с одной стороны, будет укорачиваться вращением среднего барабана на величину

$$-dL_r = -r\,d\varphi$$

Но зато он удлиняется за счёт перемещения всей катушки вправо; эта часть удлинения есть

$$dL_R=R\,d\varphi\,\cos\alpha$$

Итого, изменение длины нити составит $dL=-dL_r+R\,\cos\alpha\,d\varphi$, то-есть

$$dL=\left (\cos\alpha-\frac rR\right)R\,d\varphi$$

Но тогда в силу постулата $dL\geqslant 0$ получаем вывод: катушка покатится вправо при $\cos\alpha>\frac rR$, и влево в обратном случае.. буквально - в обратном)).

[vek88]

Пипец, приехали. Я уж думал, что все все поняли. Пардон, ошибся.

Милый, dovlato - это кинематика. Нету тут никаких сил и их точек приложения. В кинематике рассматривается просто движение, как таковое - без выяснения причин этого движения.

Вам это говорит о чем-нибудь? В частности, Вы понимаете, что кончик нити может двигаться куда мне захочется? И к чему Ваше глубокомысленное сообщение post420049.html#p420049?

dovlato в сообщении #420049 писал(а):

Рассматривать следует момент силы натяжения нити именно относительно нижней точки, и не иначе.

А кто-нибудь предлагал рассматривать момент относительно другой точки?

Все, я устал - беру шинель - иду домой.

[dovlato]

Vec, Вы не щадите себя. Отдохните.

[Батороев]

Alfucio в сообщении #419979 писал(а):

Батороев, да, мы как раз так и делали на семинаре, в том числе проводили эпюры скоростей (если я правильно это называю).

Правильно - эпюры! Сам я это слово так и не вспомнил, хотя чертил их тысячи раз! Очень показательная вещь, я Вам скажу. Т.е. можно определить скорость любой точки, при этом особо не замудряясь.

Alfucio в сообщении #419979 писал(а):

Подскажите, пожалуйста (не совсем понимаю), как $r$ может быть больше $R$, ведь тогда нить будет «волочиться» по земле?

gris уже правильно объяснил.

dovlato в сообщении #420105 писал(а):

Vec, Вы не щадите себя. Отдохните.

Вы правы, но с точностью "до наоборот"!