Задача про катушку

[Alfucio]

Здравствуйте!

Разбираю задачу 16.30 (508) из Мещерского (нумерация дана по изданию 1975 года):

Катушка радиуса $R$ катится по горизонтальной плоскости $HH$ без скольжения. На средней цилиндрической части катушки радиуса $r$ намотана нить, конец которой $B$ обладает при этом движении скоростью $u$ по горизонтальному направлению. Определить скорость $v$ перемещения оси катушки.



Подскажите, пожалуйста, в какую сторону будет катиться катушка?

[gris]

Если без скольжения — представьте, что шестерня катится по зубчатой рейке.

[Alfucio]

Я понимаю задачу следующим образом: на среднюю цилиндрическую часть намотана нить (минимум несколько оборотов), за нее тянут, катушка из-за этого катится. Представляя, как Вы предлагаете, что шестерня катится по зубчатой рейке, мне кажется, что она будет катиться влево...

[gris]

Совершенно верно. А что удивительного? Вот если бы нить была намотана в другую сторону, то она торчала бы сверху и движение направо выглядело бы более естественно.

[Alfucio]

Удивительно то, что на семинаре по-другому решали... :)

Я предлагал вариант, что катушка поедет влево, объясняя это примерно также, как Вы, но теоретически не мог найти скорость тогда.

Преподаватель же настаивал на том, что она покатится вправо, и доказывал свои рассуждения следующим образом: «самая нижняя точка» будет МЦС (пусть это будет $P$, как обычно обозначается МЦС), так как МЦС при движении «колеса» находится в этой точке. Тогда можно провести «эпюры скоростей», и вектор скорости будет направлен параллельно вектору $u$, только будет большим, так как находится от $P$ дальше (и дальше шли вычисления). Определения в кавычках даны мною, преподаватель, конечно, это объяснял более правильными словами.

Подскажите, пожалуйста, с чего лучше начать решение, если катушка катится все-таки влево? :)

[Gravist]

Определить угловую скорость катушки

[venco]

А почему, собственно, преподаватель рассматривал МЦВ, а не центр масс катушки?
Силы приложены к катушке, и вращение будет определятся моментом сил действующих на катушку, который отсчитывается относительно центра масс.
МЦВ - вообще вещь непостоянная и зависит от системы отсчёта.

[Padawan]

venco
Это кинематическая задача, силы и массы ту ни при чём.

Преподаватель прав, катушка покатится вправо.
Alfucio
Чему равна скорость точки $A$?

[gris]

Был проведён натурный эксперимент. Катушка вправо катится, зараза. А чего бы ей не катится вправо? Наматывается на нитку. А вот если нитка тянется под углом вверх к плоскости, то влево. Вот чудеса.

[ewert]

Если катушка поворачивается на угол $d\varphi$, то смещается она на $R\,d\varphi=v\,dt$. При этом длина ненамотанного участка нити уменьшается на $r\,d\varphi=\dfrac{r}{R}v\,dt$, в то время как конец нити смещается вправо на $u\,dt$. Это означает, что смещение катушки есть $\dfrac{r}{R}v\,dt+u\,dt=v\,dt$.

Padawan в сообщении #418220 писал(а):

Это кинематическая задача, силы и массы ту ни при чём.

Не совсем так. Для определения направления движения (не величины скорости, а именно направления) проще всего рассмотреть именно момент тянущей силы относительно мгновенной оси вращения. Тогда всё становится совсем очевидным.

В какую сторону покатится катушка при разных углах наклона нити -- зависит от того, в какой точке продолжение ненамотанного участка нити пересекается с плоскостью. Если левее точки касания,то вправо (горизонтальную нить можно рассматривать как пересекающуюся с плоскостью бесконечно далеко слева). Если пересечение получается правее точки касания, то катушка покатится влево.

[gris]

Так в случае горизонтального расположения нити влево покатится? Я вроде бы аккуратно тянул. Но, подозреваю, что с обычными нитками высокой точности не достичь Где-то на стройке видел намотанный кабель. Кстати, задача имеет практическое применение — как таскать катушечные кабели(я).

[ewert]

gris в сообщении #418242 писал(а):

Так в случае горизонтального расположения нити влево покатится? Я вроде бы аккуратно тянул.

Покатится-то она в любом случае вправо, аккуратно тяни или неаккуратно. Другое дело, что при аккуратном натяге нить будет наматываться. А если тянуть со страшной силой -- наоборот, разматываться.

[Gravist]

gris-у

(Оффтоп)

gris в сообщении #418242 писал(а):

Где-то на стройке видел намотанный кабель. Кстати, задача имеет практическое применение — как таскать катушечные кабели(я).

Опыт на стройке проводить не рекомендую - неправильно поймут . Особенно охранные кобелИ - покусают.
Катушки с кАбелями за концы не таскают: кАбель с них сматывают, вывесив катушку на специальных стойках-домкратах.

[vek88]

Ну что ж все вокруг да около ходим? Кто-нибудь может объяснить все на пальцах?

Итак, ведь сказал кто-то, что задача кинематическая. Дык чего же мудрить?

Катим катушку без проскальзывания на один оборот, например, влево. Что будет с ниткой? Смотается на длину меньшую, чем расстояние, которая проехала катушка за один оборот (по условию задачи радиус намотки нитки меньше внешнего радиуса катушки). А коли так, ее кончик сместится влево.

Так что скорости конца нитки и катушки направлены в одну сторону. Ну и из тех же соображений - при смещении катушки влево на оборот, т.е. на расстояние $2 \pi R$ конец нити смещается влево на $2 \pi (R-r)$. Так что

$$ \frac{v}{u} = \frac{R}{R-r}.$$

Так понятно?

[vek88]

ewert в сообщении #418240 писал(а):

Не совсем так. Для определения направления движения (не величины скорости, а именно направления) проще всего рассмотреть именно момент тянущей силы относительно мгновенной оси вращения. Тогда всё становится совсем очевидным.

А вот это делать нельзя! В условии задачи сказано, что катится. А под действием чего - об этом ничего не сказано! Катушка может катиться в любую сторону, например, я ее качу куда мне вздумается. При этом я сообщаю Вам скорость конца нити - а Ваша задача - определить скорость катушки.

Так что, кинематика, Ватсон - кинематика.