Теорема Гаусса для полей Янга - Миллса

[ИгорЪ]

Вопрос к уважаемой публике. Теорема Гаусса дле Янг-Миллсова поля выполняется?

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #418836 писал(а):

Теорема Гаусса дле Янг-Миллсова поля выполняется?

А как Вы сформулируете утверждение "теорема Гаусса для Янг-Миллсова поля", дабы нам проверить его выполнение?

[ИгорЪ]

myhand в сообщении #418872 писал(а):

ИгорЪ в сообщении #418836 писал(а):

Теорема Гаусса дле Янг-Миллсова поля выполняется?

А как Вы сформулируете утверждение "теорема Гаусса для Янг-Миллсова поля", дабы нам проверить его выполнение?

Как формулировать не представляю, а проверять например так.
Берем какое нибудь решение для ЯМ- поля точечного цветного заряда и считаем его поток по содержащей его сфере. Шевелим чуть сферу (радиус там увеличиваем, в ящик деформируем, оставляя заряд внутри) и убеждаемся что интеграл не меняется.

-- Ср мар 02, 2011 11:25:54 --

Munin
Зная т. Гаусса можно мгновенно сказать,что внутри заряженной сферы поле ноль. Для ньтоновской гравитации аналогично. В нелинейном неабелевом случае ЯМ-полей это не факт, я вот не слыхал такого. А ОТО также нелинейная. Злобный вы наш.

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #418922 писал(а):

Как формулировать не представляю

А о чем тогда может идти речь? Вы сформулируйте сперва. Чтобы что-то определенное сказать - Вашим слушателям нужно понимать что Вы подразумеваете под "теоремой Гаусса для Янг-Миллсова поля". Есть скромное предположение, что для Вас это пока набор слов.

ИгорЪ в сообщении #418922 писал(а):

Зная т. Гаусса можно мгновенно сказать,что внутри заряженной сферы поле ноль.

Нужно еще привлекать соображения симметрии. Либо сильно исключительные свойства оболочки (в электродинамике - проводник).

Шимпанзе в сообщении #418950 писал(а):

Возник второй вопрос, как меняется потенциал внутри сферы при ее расширении.

Почему "у Вас" - выше даже метрику явно выписывали в определенном приближении.

Шимпанзе в сообщении #418950 писал(а):

А это означает, что никакой "неоднородности пространства" внутри сферы не возникает.

Для этого не нужно что-то считать - нужно было просто разобраться в доказательстве теоремы.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #418997 писал(а):

а вот для электродинамики, где свобода потенциала - калибровочная, извольте изложить поподробнее

Не вижу причины уходить от статики, это критично для обсуждаемого?

myhand в сообщении #418955 писал(а):

А о чем тогда может идти речь? Вы сформулируйте сперва. Чтобы что-то определенное сказать - Вашим слушателям нужно понимать что Вы подразумеваете под "теоремой Гаусса для Янг-Миллсова поля". Есть скромное предположение, что для Вас это пока набор слов

Конечно набор, я ведь честно сказал что не представляю как формулировать. Поля то некоммутативны в разных точках.
Я просто предположил, что такая наука существует и спросил, в надежде, что может кто знает. Тогда вопрос темы решается мгновенно. Но похоже это неизвестно никому на форуме, попробую поискать.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #419051 писал(а):

Не вижу причины уходить от статики, это критично доля обсуждаемого?

Критично. Вы спросили про уравнения Янга-Миллса. Их калибровочная инвариантность подобна калибровочной инвариантности электродинамики, а не произволу отсчёта потенциала в электростатике.

ИгорЪ в сообщении #419051 писал(а):

Поля то некоммутативны в разных точках.

Поле Янга-Миллса - классическое, ни о какой некоммутативности там речи не идёт.

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #419051 писал(а):

Конечно набор, я ведь честно сказал что не представляю как формулировать.

Ну а как Ваши читатели поймут что Вы имели в виду? Телепатически что-ли? Так даже у Вас в голове нет идеи того, о чем Вы спрашиваете.

Вы хоть в электродинамике сформулируйте то, что называете "теоремой Гаусса". $\oint \vec E \cdot d\vec S = Q$ ? Так стоит начать, наверно, с выражения этого утверждения в четырехмерной форме.

ИгорЪ в сообщении #419051 писал(а):

Поля то некоммутативны в разных точках.

А в "неразных" - коммутативны?

Munin в сообщении #419054 писал(а):

Поле Янга-Миллса - классическое, ни о какой некоммутативности там речи не идёт.

Надеюсь, что речь о $[A_i,A_j]\ne 0$ для неабелевого случая. Иначе, действительно - непонятно о какой "некоммутативности" идет речь.

ИгорЪ в сообщении #419051 писал(а):

огда вопрос темы решается мгновенно.

"Вопрос темы" решили уже давно. И к обобщению теоремы Гаусса он имеет весьма косвенное отношение.

[ИгорЪ]

myhand в сообщении #419061 писал(а):

И к обобщению теоремы Гаусса он имеет весьма косвенное отношение.

Да согласен, поскольку неабелев гаусс непридуман. Попросту теорема Гаусса не выводится, как в абелевом случае, из пары ЯМ уравнений с длинными производными и цветным током, по причине некоммутативности и несохранении ентого тока. А интересно было бы найти такое обобщение.

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #419331 писал(а):

Да согласен, поскольку неабелев гаусс непридуман.

С чего Вы взяли, что "непридуман"? Просто вы ведете речь непонятно о чем.

Я предложил Вам как-то сформулировать задачу формально - Вы это сделать и не пытаетесь. Начните хоть с формулировки "теоремы Гаусса в абелевом случае".

[Утундрий]

Если речь, как я подозреваю, идет о следствиях из факта $\[\sqrt g F_{;\nu }^{\mu \nu } = \left( {\sqrt g F^{\mu \nu } } \right)_{,\nu } \]$, то оный для Я.-М. не имеет места тупо в силу того, что $\[\sqrt g \hat F_{;\nu }^{\mu \nu } = \left( {\sqrt g \hat F^{\mu \nu } } \right)_{,\nu } \pm \sqrt g \left[ {\hat F^{\mu \nu } ,\hat A_\nu } \right]\]$ -- не сводится к дивергенции. Может его и можно было бы "придумать", но заведомо не в общем случае.

[myhand]

Утундрий в сообщении #419342 писал(а):

Если речь, как я подозреваю, идет о следствиях из факта

Не сводится, и что?

Я могу продолжать "гадать", что Вы ведете к "следствию" (обозначения элементов $df$ двухмерной и трехмерной $dS$поверхностей, по которым ведется интегрирование - по ЛЛ т.II, параграф 6):

$$\frac{1}{2} \oint F^{ik}df^*_{ik} = -4\pi \int j^i dS_i$$

В неабелевом случае тогда появится еще штука вида

$$g\int dS_i [F^{ik},A_k]$$

А она точно не нуль?

Утундрий в сообщении #419342 писал(а):

Может его и можно было бы "придумать"

Придумать что?

[Утундрий]

myhand в сообщении #419352 писал(а):

А она точно не нуль?

А с чего бы ей?

myhand в сообщении #419352 писал(а):

Я могу продолжать "гадать",

Не надо, не надо продолжать гадать о том, о чем же я гадал о том, что же имел в виду ИгорЪ
Проще дождаться от него ответа.

myhand в сообщении #419352 писал(а):

Придумать что?

ИгорЪ в сообщении #419331 писал(а):

поскольку неабелев гаусс непридуман

[ИгорЪ]

myhand
Из $dF=J$ в электродинамике следует сохранение тока, а для нулевой его компоненты получается теорема Гаусса, легко. Сохранение цветного тока не следует из неабелева случая $DF=J$, появляется лишний член. Хуанг в 1985 Кварки лептоны и калибр. поля, стр.114, даже назвал получающееся уравнение обобщенным законом Гаусса. Но интегралной формулы из него не следует. Я имел всегда вариант интегральной формулы неабелева Гаусса в контексте рассматриваемой темы топика.
Утундрий
корни из жо это привычка?

[Утундрий]

ИгорЪ в сообщении #419378 писал(а):

Из $dF=J$ в электродинамике следует сохранение тока, а для нулевой его компоненты получается теорема Гаусса, легко.

Ну вот мы и узнали, что понималось под "теоремой Гаусса".
Всего-навсего $\[J_{;\mu }^\mu = 0\]$

Ну и то, что для Я.-М. с его $\[\sqrt g \hat J_{;\mu }^\mu = \left( {\sqrt g \hat J} \right)_{;\mu }^\mu + \sqrt g \left[ {\hat A_\mu ,\hat J^\mu } \right]\]=0$

ИгорЪ в сообщении #419378 писал(а):

интегралной формулы из него не следует.

и ёжику понятно (см. также выше посты мои и myhand)

ИгорЪ в сообщении #419378 писал(а):

корни из жо это привычка?

Это среднее арифметическое от ЛЛ и Дирака.

[myhand]

Утундрий в сообщении #419384 писал(а):

ИгорЪ в сообщении #419378 писал(а):

Из $dF=J$ в электродинамике следует сохранение тока, а для нулевой его компоненты получается теорема Гаусса, легко.

Ну вот мы и узнали, что понималось под "теоремой Гаусса".
Всего-навсего $\[J_{;\mu }^\mu = 0\]$

Не. Это соотношение сохраняется и для Я-М (Вы сами же ниже это пишете). Кстати, нулевая компонента уравнений поля $F^{0k}_{;k} = -4\pi J^0$ (AFAIK его называют уравнением Гаусса и в этом случае) - не будет содержать временных производных, как и в электродинамике.

Штука в том, что из него не следует интегрального соотношения типа приведенного мной выше. Скажу скромнее: не видно почему будут сокращаться дополнительные слагаемые. По-хорошему, это стоит доказать - что не сокращаются ;)

ИгорЪ в сообщении #419378 писал(а):

Но интегралной формулы из него не следует

Еще как следует Просто непонятно - та ли эта формула, которая Вам нужна ;)

lapay в сообщении #419392 писал(а):

У обоих наблюдателей есть плоское пространство внутри ракет.

Оно плоское только внутри сферы и на бесконечности вне сферы. Покуда ракеты там - "внутри ракет" пространство-время действительно плоское. Оно не плоское между ракетами. Так что для них не "все одинаково". Вот потому и темп хода часов кажется разным для удаленных наблюдателей.

lapay в сообщении #419392 писал(а):

Наблюдателям вовсе не обязательно смотреть на другие ракеты –им достаточно делать измерения внутри своих ракет.

Какие именно измерения Вы предлагаете делать и что по этим измерениям считать? Напишите, пожалуйста, формулы.