2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 14:28 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Можно предложить решение основанное только на сравнениях по модулю $3^x$.
Уравнение запишем в виде $3^x=2^y+19^z$.
$x=0$ нет решения.
$x=1$ дает $y=1,z=0$.
$x=2$ дает $y=3,z=0$.
Пусть $x\ge 3$. Учтем, что $19^z=(1+2*3^2)^z=1+z*2*3^2+z(z-1)*2*3^4+...$
Следовательно $2^y=-1\mod 9\to y=3k, k-odd$.
$(-1+3^2)^k=-1+k*3^2-\frac{k(k-1)}{2}3^4+....$
Это дает последнее решение $x=3,y=3,z=1$.
Пусть $x\ge 4$. Тогда $3^x=8^k+(-8+3^3)^z=8^k+(-8)^z+z(-8)^{z-1}3^3+\frac{z(z-1)}{2}(-8)^{z-2}3^6+...$
Отсюда $k,z$ нечетные и $k=z\mod 3$. Далее можно показать, что сравнение по модулю $3^x$ может выполняться только увеличением $k,z$ притом $k=cz,$ где $c-$ 3-адическое число. Увеличение x на 1 увеличивает $z,k$ как минимум на $3^{(z-1)/2}$, что приводит к числам существенно большим чем $3^x$ в правой части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение02.05.2012, 03:48 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
BanmaN в сообщении #418484 писал(а):
Найти все x, y, z - натуральные, такие, что
$3^x-2^y=19^z$.

Рассмотрением по модулю 1360 легко получается, что единственными решениями являются тройки [1, 1, 0], [2, 3, 0], [3, 3, 1].
А детали поиска подходящего модуля есть на AOPS: https://artofproblemsolving.com/community/c6h48431

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group