Сферическая система координат

[12d3]

evgeniy в сообщении #418339 писал(а):

Т.е. для моего случая равна нулю, так как \lambda=R^2=const$.
Выходит формула (1) не верна, что абсолютно не постижимо.

Вообще-то, наоборот. Формулы верные, а ваш результат не верен. Именно это shwedka пытается вам втолковать на протяжении двух страниц. У вас ошибка в вычислениях, которые вы никак не желаете показать.

[evgeniy]

Имеется две противоречивые формулы, первая по теореме Гаусса, $K=\frac{1}{\lambda}\Delta ln\lambda$, по которой кривизна моего решения равна нулю, и формула $\frac{1}{R}=cos^2\theta/R_1+sin^2\theta/R_2$ из Смирнова, где величины радиусов $\frac{1}{R_l}=\frac{\partial \varphi_l}{\partial s_l}$ равны, вычисляются в перпендикулярных сечениях, и значит по моему решению получается конечная кривизна. Считаю по обоим формулам одинаковое соотношение. В чем дело я не знаю, надо посмотреть Смирнова, но его под рукой нет.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #418382 писал(а):

и значит по моему решению получается конечная кривизна

Если одна и та же величина вычисляется разными методами и дает различные результаты, то по крайней мере, один из методов ошибочен. Гауссу все верят.
Значит, Ваше решение ошибочно. Невозможно на сфере ввести координаты с указанным Вами метрическим тензором.


К тому же, вы опять запутались в кривизнах.

Цитата:

и по существу равны в каждом сечении $1/\rho_l=\frac{\partial \varphi_l}{\partial s_l}\eqno(1)$

Вот в этом 'по существу' вы проврались

[evgeniy]

Понятие гауссова кривизна Вы и я толкуем по разному. Я надеялся, что Вы мне объясните в чем разница в толковании и почему не справедлива формула $1/R=cos^2\theta/R_1+sin^2\theta/R_2\eqno(1)$
и в чем разница между этими формулами.
Я подозреваю, что под равенством нулю гауссовой кривизны ВЫ подразумеваете, кривизну плоского пространства, у которого символ Кристоффеля равен нулю. Так вот у этого пространства существует трехмерное подпространство, я основываюсь на ОТО, в котором кривизна тела, а не пространства, определяемого метрическим тензором, определяется как я говорю, при общем плоском пространстве с нулевой кривизной, т.е. с нулевым символом Кристоффеля. Т.е. существует кривизна пространства, определяемая по метрическому тензору и кривизна тел, помещенных в это пространство, кривизна которых определяется по формуле (1). Это единственное объяснение существования формулы (1).
Кроме того, у Смирнова имеется две квадратичные формы поверхности тела, может быть в этом дело, может быть кривизна определяется для каждой из них.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #418388 писал(а):

формула $1/R=cos^2\theta/R_1+sin^2\theta/R_2$

Эта формула дает НЕ Гауссову кривизну, а кривизну сечения поверхности плоскостью, проходящей через нормаль, под углом $\theta$ к одному из главных направлений. То есть это не Гауссова кривизна. Для сферы, и для любой другой поверхности, она ражна произведению главных кривизн, т.е. $(R_1R_2)^{-1}$.
Гауссова кривизна сферы равна $R^{-2}$, как ее ни считать. В том числе, и по формуле Гаусса. Вы применяете формулу Гаусса в предположении, что Вы построили координаты, в которых метрический тензор имеет специальную форму. Получился нуль. Это означает, что таких координат на сфере не бывает. Вы их не построили. И никогда не построите. Если кажется, что построили, значит, ошибаетесь.
Таких координат, как вы хотите, не бывает. Никогда не бывает. И никогда не будет. Даже если Вы очень сильно этого хотите.

Все разговоры про ОТО и тп иррелевантны.
Читайте учебник Погорелова. Там все разжевано. Я указала страницы.

[Андрей АK]

evgeniy в сообщении #414387 писал(а):

В сфязи с новыми идеями о теме сферическая система координат, я вновь поднимаю эту тему, которую пытался обсуждать в разделе дискусионные проблемы в разделе "Физика". Дело в том, что как я понимаю сферическая система координат имеет большой недостаток, так как не адитивна по углу $\theta$. ПОясню это. сферическая функция состоит из двух частей. $Y_{nm}(\theta,\phi)=P_n^m(\theta)exp(im\phi)$. При этом углы $\phi$ при вычислении произведения складываются, т.е. $exp(i\phi_1)exp(i\phi_2)=exp[i(\phi_1+\phi_2)]$, а угол $\theta $ не складывается $P_n^m(\theta_1)P_n^m(\theta_2)\ne P_n^m(\theta_1+\theta_2)$. А по самой природе углы должны складываться. Кроме того производная от этой функции, не является этой же функцией с постоянным коэффициентом, что создает большие сложности при численном счете. Дифференцируя мнимую экспоненту получаем простую формулу (экспоненту с коэффициентом). Эти два недостатка делают по моей точке зрения сферическимие функции не удобными, по крайней мере в вычислениях. Возникает идея, построить такие функции, которые были бы аддитивны по углом, т.е. решение имело вид $exp(in\phi_1+im\phi_2)$. И мне удалось построить такие углы. Но об этом в следующем сообщении, так как сообщения вынуждены быть короткими.

По моему, вы сделали одну ошибку.
А именно - взяли за основу мнимую единицу.
А ведь это "оператор поворота" в двумерной плоскости.
Чтоб то-же самое было в трехмерной плоскости, надо использовать кватернионы.
Действительно: углы то при сложении не коммутируют , а что бы вы ни написали, какую бы формулу не придумали - вы всегда получите коммутирующий результат.
А коммутировать сложение углов не должно - ибо это углы в трехмерном пространстве.
Вывод: нужны некоммутирующие элементы, т.е. кватернионы.

[evgeniy]

Дело в том, что для моих углов имеется соотношение $ds_l=R_l d\varphi_l$ , где величины длины дуги $ds_l$ и угол касательной плоскости $\varphi_l$ взяты в перпендикулярных сечениях главных радиусов кривизны. ОТкуда можно определить главные радиусы кривизны, $R_l$, а по ним и гауссову кривизну.
У меня нет Погорелова, а в библиотеку я не пойду, нет возможности. объясните, почему нельзя косвенно определять радиусы, а по ним ГАуссову кривизну, в двух словах, раз это разжеванно в Погорелове.
Пожалуйста не материтесь, иррелевантно, это выше моих способностей.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #418402 писал(а):

Дело в том, что для моих углов

И не только для Ваших углов, для любых углов Гауссова кривизна одна и та же. Закон природы такой.
Но просто 'Ваши' углы не дают тойметрической формы, как Вы хотите.
Так что не в вычислении кривизны ищите у себя ошибку, а в построении 'углов'
А Погорелова получить очень легко

(Оффтоп)

[url]http://djvuru.512.com1.ru:8073/WWW/6ca8cae34d30a8dde54569966fce8c22.djvu
[/url]
или

http://lib.homelinux.org/_djvu/M_Mathematics/MD_Geometry%20and%20topology/MDdg_Differential%20geometry/Pogorelov%20A.V.%20Differencial%27naja%20geometrija%20(6e%20izd.,%20Nauka,%201974)(ru)(L)(T)(90s)_MDdg_.djvu

или

http://lib.homelinux.org/_djvu/M_Mathematics/MD_Geometry%20and%20topology/MDdg_Differential%20geometry/Pogorelov%20A.V.%20Differencial%27naja%20geometrija%20(6e%20izd.,%20Nauka,%201974)(ru)(K)(T)(178s)_MDdg_.djvu

[12d3]

evgeniy в сообщении #418402 писал(а):

для моих углов имеется соотношение $ds_l=R_l d\varphi_l$ , где величины длины дуги $ds_l$ и угол касательной плоскости $\varphi_l$ взяты в перпендикулярных сечениях главных радиусов кривизны.

У вас еще недавно "углами касательной плоскости" были $\psi_l$, а углы $\varphi_l$ были неизвестно чем.

[evgeniy]

Я в недоумении. У меня получились ортогональные на сфере углы, с метрическим интервалом $ds^2=R^2(d\varphi_1^2+d\varphi_2^2)$. Хотя меня упрекают, что этого не может быть. Углы не зависимы, и значит между собой не коммутируют. На сфере это по существу декартовы координаты и не коммутируют. Но вот Shwedka, утверждает, что такие координаты не существуют. А я их построил.

[12d3]

evgeniy в сообщении #418417 писал(а):

А я их построил.

Вы придуриваетесь или тролль? Вам уже много раз сказали, что у вас ошибка.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #418417 писал(а):

А я их построил.

Вы только говорите, что построили. этого построения никто не видел. Значит, не построили. Или с ошибкой. Вам Гаусс и Ваши же вычисления говорят, что таких углов в природе быть не может. Ну, как квадратного уравнения с тремя корнями.

[evgeniy]

Если уж на то говорить, я уже изложил как я построил эти углы. А если троллям не понятно мое изложение, то это их вина. Пока я не убеждусь, что результирующее решение правильно, я не буду ничего подробно излагать, так как это бессмысленно. дЛя этого, мне надо понять, почему построенные углы невозможны. Т.е. почему их гауссова кривизна нулевая, хотя я уже несколько раз описывал, как можно вычислить их кривизну.
Сноску, которую вЫ сделали на Погорелова, требует пороля, которого я не знаю.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #418439 писал(а):

я уже изложил как я построил эти углы.

Неправда. Вы написали несколько разрозненных формул. Связного и полного изложения не было.

evgeniy в сообщении #418439 писал(а):

Сноску, которую вЫ сделали на Погорелова, требует пороля, которого я не знаю.

Пойдите по другому. Я дала три ссылки.

evgeniy в сообщении #418439 писал(а):

Т.е. почему их гауссова кривизна нулевая,

Вы сами посчитали эту кривизну, по Гауссу, получился ноль.

[Time]

Андрей АK в сообщении #418399 писал(а):

По моему, вы сделали одну ошибку.
А именно - взяли за основу мнимую единицу.
А ведь это "оператор поворота" в двумерной плоскости.
Чтоб то-же самое было в трехмерной плоскости, надо использовать кватернионы.

Мнимая единица может быть оператором поворота не только на комплексной плоскости или в пространстве связанном с кватернионами, но и в пространствах с иным типом метрической функции, нежели квадратичная. В частности, в финслеровом пространстве, соответствующем алгебре прямых сумм вещественных и комплексных чисел, или двух комплексных. В обоих случаях группы вращений коммутативные, то есть, абелевы. Иными словами многомерные плоскости бывают не только с евклидовой или псевдоевклидовой геометрией, но и с частного вида финслеровыми.